Cuál de las siguientes puede el conjunto de puntos de discontinuidad?

Question

Deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. Deje $S$ el conjunto de puntos en el que $f$ es discontinuo. Cuál de los siguientes podría ser $S$?

1. Todos los números reales positivos
2. Todos los números irracionales
3. Todos los números reales

Sé que el 3 es posible. Un ejemplo es la función de Dirichlet. Pero no estoy seguro acerca de 1 y 2. Para los 2, yo sé que no hay ninguna función $g$ $[0,1]$ tal que $g$ es continua sólo en puntos racionales. Así que sospecho 2 a ser imposible. Para 3, no estoy seguro, pero sospecho que algo podría ir mal cerca de cero. Es decir, si $f$ es continua en cero, $f$ es continua cerca de cero.

Answer 1

Definir $$f(x)=\begin{cases} x,&\text{ if }x\text{ is positive and irrational}, \\0,&\text{ otherwise}.\end{casos}$$

A continuación, $f$ es discontinua en, precisamente, los números positivos.