Composiciones débiles ponderadas de n en k partes

Question

Soy nuevo en la combinatoria y me pregunto sobre una extensión de una composición débil de $n$ en $k$ partes donde ambos $n \in \mathbb{N}$ y $k \in \mathbb{N}$ . Clásicamente, el resultado (no ponderado) es, $$\text{If, }A = \left\{ (b_1, b_2, \ldots, b_k) \in \mathbb{Z}_+^k : \sum_{i = 1}^k b_i = n \right\}, \quad \text{then } |A| = \binom{n + k - 1}{k - 1}$$ donde $|\cdot|$ denota la cardinalidad de $A$ y $\mathbb{Z}_+$ denota el campo de los enteros no negativos.

Mi pregunta es si es posible extender esto para tener una composición débil ponderada de enteros en $k$ ¿piezas? A saber, definir un conjunto de pesos fijos $\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_k) \in \mathbb{R}_+^k\setminus\left\{ 0\right\}$ y $$A_\alpha = \left\{ (b_1, b_2, \ldots, b_k) \in \mathbb{Z}_+^k : \lfloor\sum_{i = 1}^k a_i b_i \rfloor = n \right\}$$ ¿Es posible calcular $|A_\alpha|$ ? O quizás dar límites en $|A_\alpha|$ ?

Answer 1

Como ejemplo de cómo hacer esto con una recurrencia, el número de formas $N_{s,i}$ de alcanzar una suma determinada $s$ con $i$ pesos $(a_1,a_2,\ldots,a_i)$ satisface $$N_{s,i} = N_{s,i-1}+N_{s-a_i,i}$$ empezando por $N_{0,0}=1$ y $N_{s,0}=0$ para $s\not= 0$ .

A continuación, debe tomar $\displaystyle |A_\alpha|=\sum_{n \le s \lt n+1} N_{s,k}$ para obtener el resultado en su formulación.

Por ejemplo, supongamos que $n=2$ , $k=5$ y los pesos son $(0.7,0.5,0.9,0.8,0.6)$ . La recurrencia podría entonces producir esta tabla para $N_{s,i}$

0       1   1   1   1   1   1
0.1     0   0   0   0   0   0
0.2     0   0   0   0   0   0
0.3     0   0   0   0   0   0
0.4     0   0   0   0   0   0
0.5     0   0   1   1   1   1
0.6     0   0   0   0   0   1
0.7     0   1   1   1   1   1
0.8     0   0   0   0   1   1
0.9     0   0   0   1   1   1
1       0   0   1   1   1   1
1.1     0   0   0   0   0   1
1.2     0   0   1   1   1   2
1.3     0   0   0   0   1   2
1.4     0   1   1   2   2   3
1.5     0   0   1   1   2   3
1.6     0   0   0   1   2   3
1.7     0   0   1   1   2   3
1.8     0   0   0   1   2   4
1.9     0   0   1   2   2   4
2       0   0   1   1   2   5
2.1     0   1   1   2   3   6
2.2     0   0   1   1   3   6
2.3     0   0   0   2   4   7
2.4     0   0   1   2   4   8
2.5     0   0   1   2   4   8
2.6     0   0   1   2   4   9
2.7     0   0   1   2   4   10
2.8     0   1   1   3   5   11
2.9     0   0   1   2   5   12

dando la solución como la suma de los diez últimos números de la última columna, es decir $82$