Producto directo de un grupo finito con un grupo simétrico infinito

Question

Deje que $G$ ser cualquier grupo finito, y $S_{ \aleph_0 }$ el grupo de todas las bijecciones $\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}$ .

Es $G \times S_{ \aleph_0 } \cong S_{ \aleph_0 }$ ?

Answer 1

Si $X$ es cualquier conjunto (sin excepción, posiblemente incontable, posiblemente finito, incluso con menos de 4 elementos), entonces el conjunto de subgrupos normales de $S_X$ está totalmente ordenado por inclusión. Por otra parte, si $F$ es cualquier grupo (finito o no) y si ambos $F$ y $X$ tienen al menos dos elementos, entonces el conjunto de subgrupos normales de $S_X \times F$ no está totalmente ordenado, ya que contiene tanto $S_X$ y $F$ ninguno de los cuales está contenido en el otro; de manera más general, esto muestra que $S_X$ no es isomorfo al producto directo de dos grupos no triviales.

Answer 2

La pregunta ha sido contestada en el modus operandi:

$\ \ S_{ \aleph_0 }$ tiene sólo los cuatro subgrupos normales dados por el teorema de Baer-Schreier-Ulam mientras que $G \times S_{ \aleph_0 }$ tiene el subgrupo normal $G$ .

http://mathoverflow.net/questions/202472/direct-product-of-a-finite-group-with-an-infinite-symmetric-group .