$(\nabla - \vec{g}) \cdot \vec{f}(r,\theta)=0$

Question

Conociendo $\vec{g}$ ¿cómo se puede resolver la ecuación anterior para $f$ ? Hay una simetría en $\phi$ en coordenadas esféricas, por lo que la ecuación es una ecuación 2D. También, $\vec{g}$ es un rizo completo. ¿Podría alguien ayudarme?

más información $\vec{f}$ podría escribirse como $\nabla h(r,\theta)$ . Condición límite:

$\vec{f}_r=0$ en el infinito. $f_r(r=1)= - A$

que $A$ es una constante.

Si se necesita más:

$g_\theta(r,\theta) = \sin \theta (1-\frac{\sin \theta }{2 r^2})-\frac{\alpha \sin ^2 \theta \cos \theta}{r^4}$

$g_r(r,\theta) = -\cos \theta (1-\frac{1}{ r^3})+\frac{3\alpha}{2r^2}(\frac{1}{r^2}-1)(\cos^2 \theta-\frac{1}{3})$

Answer 1

Creo que sin una expresión explícita para $\vec {g} \cdot \vec {f} $ se quedan con soluciones triviales, por ejemplo $ f=0$

Tomemos cualquier campo vectorial continuamente diferenciable $\vec{f}(r,\theta)$ con un soporte compacto entonces por la descomposición de Helmholtz :

$ f= \nabla h + \nabla $ x $ z $

$\nabla^2 h= \vec {g} \cdot \vec {f} $ que es la ecuación de Poisson y la solución existe dadas las condiciones que tenemos sobre $\vec {g} $ y $\vec {f} $