límite de funciones armónicas Gilbarg y Trudinger página 27

Question

Este es un pasaje de Gilbarg y Trudinger página 27

Deje $\Sigma$ ser un almacén de dominio en $\mathbb{R}^n$ ($n\geq 3$) con suave límite de $\partial\Omega$, y deje $u$ ser el armónico de la función (a menudo llamado conductor de potencial) se define en el complemento de $\bar{\Omega}$ y la satisfacción de las condiciones de contorno $u=1$ $\partial\Omega$ $u=0$ en el infinito. La existencia de $u$ es fácil de establecer como el (único) de límite de funciones armónicas $u'$ en una expansión de la secuencia de dominios acotados de tener $\partial\Omega$ como límite interior (en el cual se $u'=1$) y con fronteras exteriores (en el cual se $u'=0$) tiende a infinito. Si $\Sigma$ denota $\partial\Omega$ o cualquier lisa superficie cerrada que encierra $\Omega$, entonces la cantidad

$$\text{cap }\Omega = -\int_{\underset{\bar{}}{v}}\frac{\partial u}{\partial v}\text{d}s = \int_{\mathbb{R}^n-\Omega} |Du|^2\text{d}x\quad v= \text{outer normal}$$

se define como la capacidad de $\Omega$.

1) no entiendo por qué la parte en negrita es obviamente cierto?

2) En la definición de la capacidad, realmente no entiendo lo que la primera integral que realmente significa y por qué es igual a la segunda integral. Mi conjetura es la integración por partes de algún tipo, pero no es obvio para mí.

Answer 1

Respecto de la primera cuestión, nos vamos a denotar los dominios por $G_n$, y el límite exterior de $G_n$$S_n$, y deje $u_n$ ser el armónico de la función en $G_n$ con condiciones de contorno de la $u_n = 1$$\partial \Omega$$u_n = 0$$S_n$.

Luego, por el principio del máximo, tenemos $0 \leqslant u_n \leqslant 1$$G_n$. En consecuencia, $u_{n+1}(x) \geqslant 0$ todos los $x \in S_n$. Por lo tanto $u_{n+1}\lvert_{G_n} - u_n$ es un armónico de la función en $G_n$ con el límite de los valores de $0$$\partial \Omega$$\geqslant 0$$S_n$. Por lo tanto,$u_{n+1}\lvert_{G_n} - u_n \geqslant 0$$G_n$.

Por lo tanto para cada $x \in G_n$, la secuencia de $(u_m(x))_{m \geqslant n}$ es monótona creciente (no necesariamente estrictamente), y delimitada ($u_m(x) \leqslant 1$).

Por lo $u(x) = \lim u_n(x)$ está bien definido para todos los $x \in \mathbb{R}^n\setminus \overline{\Omega}$. Use su favorito argumento a la conclusión de que la $u$ es armónico. Harnack la desigualdad muestra que una monótona secuencia de armónica de funciones converge localmente de manera uniforme, por ejemplo. O el uso que el límite de la media del valor de la propiedad por la monotonía teorema de convergencia.

Está claro que $u$ tiene valores de límite $1$$\partial \Omega$. Queda por ver que $\lim\limits_{\lVert x\rVert\to\infty} u(x) = 0$.

El crédito para el argumento de que va a Tomás.

Elegimos una $r > 0$ tal que $\Omega \subset B_r(0)$, y vamos a $v(x) = \dfrac{r^{n-2}}{\lVert x\rVert^{n-2}}$. $v$ es armónico y satisface $v(x) = 1$$\partial B_r(0)$$v(\infty) = 0$. Para $n$ lo suficientemente grande, $\overline{B_r(0)} \subset G_n$, y, a continuación, $v - u_n$ es armónica en $G_n\setminus \overline{B_r(0)}$ con el límite de los valores de $1 - u_n(x) \geqslant 0$$\partial B_r(0)$$v(x) - 0 \geqslant 0$$S_n$, por lo tanto $u_n \leqslant v$$G_n\setminus \overline{B_r(0)}$. De ello se desprende que $0 \leqslant u(x) \leqslant v(x)$$\mathbb{R}^n\setminus \overline{B_r(0)}$, y, por tanto,$\lim\limits_{\lVert x\rVert\to\infty} u(x) = 0$.

Answer 2

Ahora he obtenido la respuesta para la segunda parte de un amigo.

$\int_V \nabla u.\nabla u\text{d}V= \int_V \nabla (u\nabla u)-u\nabla^2 u \text{d}V = \int_S u\nabla u.n\text{d}s-0=-\int_v \frac{\partial u}{\partial v}\text{d}s$

donde $\nabla^2 u =0$ por harmonicity y la última línea follws porque las normales $n$ está apuntando en la dirección opuesta a la definición.