Orden del grupo de automorfismo del grupo cíclico

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo cíclico de orden $m$ . ¿Cuál es el orden de $\text{Aut}(G)$ ?

Yo también quiero saber la prueba (elemental si es posible). Todavía aceptaría la prueba si se responde con $m = p$ un primo. O además, aceptaría la respuesta con una suposición extra: $q \equiv 1$ mod $p$ con otro primo $p$ .

Answer 1

Dado que un automorfismo de $G$ debe asignar un generador de $G$ a un generador de $G$ basta con saber cuántos generadores hace $G$ tener.

Si $G=\{e,g,g^2,...,g^{m-1}\}$ entonces un $g^i$ genera G si y sólo si $\operatorname{gcd}(i,m)=1$ .

$\lvert \operatorname{Aut}(G)\rvert=\phi(m)$ donde $\phi(m)$ es la función de Euler.

Para una prueba más detallada:

1. Dejemos que $G=\langle g\rangle$ y $f\in\operatorname{Aut}(G)$ .
2. Entonces $f(g)=g^i$ para algunos $i$ . Si $f$ es un isomorfismo $\langle g^i\rangle =G$ y esto sólo ocurre si $\operatorname{gcd}(i,m)=1$ .
3. Por otro lado todo homomorfismo $f:G\rightarrow G$ con $f(g)=g^i$ es un isomorfismo cuando $\operatorname{gcd}(i,m)=1$ Así que $\lvert \operatorname{Aut}(G)\rvert=\phi(m)$ .

Answer 2

Una pista:

Para un grupo cíclico dado $G,\;\text{with}\;\; |G| = m$ : $$\text{Aut}\,(G) \cong \mathbb{Z}_m^*\tag{$ \;^*:\;\; $multiplicative group}$$

Por lo tanto, $\text|{Aut}\,(G)| = |\mathbb{Z}_m^*|.$

Dado que un automorfismo de $G$ debe asignar un generador de $G$ a un generador de $G$ es suficiente con saber cuántos generadores $G$ debe tener.

Así que $|\text{Aut}(G)|=|\mathbb{Z}_m^*| = \phi(m)$ donde $\phi(m)$ es La función totiente de Euler.

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(Nota: no es necesario que $m = p$ un primo; basta con saber que $G$ es cíclico y finito).