Es este diferencial operador de Hermitian?

Question

El operador es

$$\hat{A} = -i \left(x \frac{d}{dx} + \frac{1}{2} \right).$$

Es cierto que

$$\langle \hat{A} \psi_1(x)|\psi_2(x)\rangle = \langle \psi_1(x)|\hat{A}\psi_2(x)\rangle\ ?$$

Aquí, $\langle\ldots|\ldots\rangle$ es un producto escalar se define como

$$\langle\psi_1(x)|\psi_2(x)\rangle = \int_{\Omega} \psi_1(x) \psi_2^*(x) \ dx.$$

Answer 1

Aquí está una ruta diferente. Considere la posibilidad de los operadores de $\hat{x}$ e $\hat{p}$donde $$\hat{x}\psi(x)=x\psi(x)$$ y $$\hat{p}\psi(x)=-i\psi'(x).$$ Mostrar que $\hat{x}$ e $\hat{p}$ son Hermitian operadores. También, muestran que $[\hat{x},\hat{p}]=\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}=i$.

Se puede probar que el $\hat{P}\hat{Q}+\hat{Q}\hat{P}$ es un Hermitian operador para Hermitian operadores de $\hat{P}$ e $\hat{Q}$. La misma situación se aplica a $\hat{x}$ e $\hat{p}$. Tenemos $\hat{x}\hat{p}+\hat{p}\hat{x}$ es Hermitian, pero $$\hat{x}\hat{p}+\hat{p}\hat{x}=2\hat{x}\hat{p}-[\hat{x},\hat{p}]=2\hat{x}\hat{p}-i=2\hat{A}.$$ Así, $2\hat{A}$ es Hermitian, y por lo $\hat{A}$ es Hermitian desde $2$ es un número real.

Answer 2

La respuesta corta es: Sí, lo es. Usted puede ver esto simplemente haciendo una integración por partes. Nos dejo fuera de la $-i$ y muestran que $x \frac{d}{dx} + \frac{1}{2}$ es antisimétrica en su lugar.

\begin{equation} \int_{\Omega} \left( \left( x \frac{d}{dx} + \frac{1}{2} \right) \psi_1 \right) \overline{\psi_2} \: dx= -\int_{\Omega} \left( x \frac{d}{dx} \overline{\psi_2} \right) \psi_1 + \psi_1 \overline{\psi_2} \: dx + \frac{1}{2} \int_{\Omega} \psi_1 \overline{\psi_2} \: dx \end{equation} Por integración por partes y desde $\frac{d}{dx} \left( x \overline{\psi_2} \right) = x \frac{d}{dx} \overline{\psi_2} + \overline{\psi_2}$. Claramente esto es igual a $- \int_{\Omega} \overline{\left( \left( x \frac{d}{dx} + \frac{1}{2} \right) \psi_2 \right)} \psi_1 \: dx$. Por lo tanto su operador de hecho es simétrica (ya que la multiplicación por $i$ convierte antisimétrica en simétrica operadores y viceversa).

Quizá todavía más importante, debe tener en cuenta que esta es una desenfrenada diferencial operador. Aunque no se ha estado de manera explícita, usted probablemente está pensando acerca de como actuar en el $L^2(\Omega)$, donde está densamente definido. Allí, el natural, el producto escalar es la que usted dio. Si usted elige el espacio de Sobolev $H^1$ como su dominio, el operador, incluso se convierte en auto-adjunto, mucho más fuerte de propiedad de operadores no acotados de ser simétrica.

Usted puede aprender más acerca de la diferencia entre la simetría y la auto-adjointness de operadores no acotados, por ejemplo, en el libro de Teschl.