Aspecto sencillo desigualdad

Question

Me gustaría encontrar el más pequeño posible constante $c$ que satisface

$$\frac{3^{3k}e\sqrt{3}}{\pi\sqrt{k}2^{3/2+2k}} \leq 2^{ck}$$

asumiendo $k\geq 1$ es un número entero.

Traté de tomar los registros de la base de $2$ de ambos lados, pero que no parece ser el enfoque correcto. ¿Cómo se puede resolver este problema?

Cuando se toma registro de ambos lados de la base de $2$ usted termina para arriba con este pienso.

$$c \geq \frac{2+6k\ln{3} - 4k\ln{2} - 2\ln{\pi} + \ln{3} - 3\ln{2} - \ln{k}}{2k\ln{2}}$$

Answer 1

Tomando el logaritmo natural, su desigualdad es equivalente a

$$ck\log2\geq3k\log3+1+\frac12\log3-\log\pi-\frac12\log k-\biggl(\frac32+2k\biggr)\log2\,,$$

y así

$$c\geq\frac1{\log2}\Biggl[3\log3-2\log2+\frac{1+\frac{\log3}2-\log\pi-\frac{3\log2}2}k-\frac{\log k}{2k}\Biggr]\,.$$

Por lo tanto

$$\begin{align*}c=&\,\sup_{k\in\mathbb Z^+}\frac1{\log2}\Biggl[3\log3-2\log2+\frac{1+\frac{\log3}2-\log\pi-\frac{3\log2}2}k-\frac{\log k}{2k}\Biggr]\\ =&\,\frac1{\log2}\Biggl[3\log3-2\log2+\frac12\,\sup_{k\in\mathbb Z^+}\biggl(\frac{a-\log k}k\biggr)\Biggr]\,, \end{align*}$$

donde $a=2+\log3-2\log\pi-3\log2=\log\Bigl(\frac{3e^2}{8\pi^2}\Bigr)<0$.

Si $f(x)=\frac{a-\log x}x$$x>0$,$f'(x)=\frac{\log x-(a+1)}{x^2}$. Por lo tanto

$$f'(x)>0\iff\log x>a+1\iff x>e\cdot e^a=\frac{3e^3}{8\pi^2}\,.$$

Desde $\frac{3e^3}{8\pi^2}<1$, se deduce que el $f$ es creciente en el intervalo $[1,\infty)$. Por lo tanto

$$\sup_{k\in\mathbb Z^+}\biggl(\frac{a-\log k}k\biggr)=\lim_{k\to\infty}\biggl(\frac{a-\log k}k\biggr)=0\,,$$

por lo que su valor requerido de $c$ es

$$c=-2+\frac{3\log3}{\log2}\,.$$

Answer 2

Haciendo uso de el comando de Maple $$sol := solve(3^{3*k}*exp(1)*sqrt(3)/(Pi*sqrt(k)*2^{3/2+2*k}) = 2^{c*k}, c) ,$$ I obtain $$sol=1/2\,{\frac {-4\,\ln \left( 2 \right) +6\,\ln \left( 3 \right) }{ \ln \left( 2 \right) }}+ $$ $$1/2\,{\frac {2+\ln \left( 3\,{\pi }^{-2} \right) +\ln \left( {k}^{-1 } \right) -3\,\ln \left( 2 \right) }{\ln \left( 2 \right) k}}. $$ En vista de $$2+\ln \left( 3\,{\pi }^{-2} \right) -3\,\ln \left( 2 \right)=-1.270289025 $$ and $$1/2\,{\frac {-4\,\ln \left( 2 \right) +6\,\ln \left( 3 \right) }{ \ln \left( 2 \right) }}=2.754887504 $$ and taking into account that $\ln(\frac 1 k) \le0$ if $k \ge 1,$ I draw the conclusion that $c$ can be taken $2.754887504$.