Demostrar que existe dos enteros $m, n$ tal que $a^m + b^n \equiv 1 \mod{ab}$$(a,b) = 1$.

Question

Demostrar que existe dos enteros $m, n$ tal que $a^m + b^n \equiv 1 \pmod{ab}$$(a,b) = 1$. Podría usted por favor, dame algunas pistas sobre cómo resolver este problema, no sólo muéstrame la respuesta?

Answer 1

1. Demostrar que no es $m>0$ tal que $a^m\equiv 1 [b]$. y $n>0$ tal que $b^n\equiv 1 [a]$.
2. Deje $c=a^m+b^n$. Mostrar que $c\equiv1[b]$$c\equiv1[a]$. Deducir que $c\equiv1[ab]$

Usted necesidad de utilizar el hecho de que $(a,b)=1$.

Answer 2

Observación: Si $\gcd(a,b)=1$,$\gcd(a+b,ab)=1$.

(Prueba: Si el primer $p$ divide $\gcd(a+b,ab)$, entonces, sin pérdida de generalidad, $p$ divide $a$. Desde $p$ divide tanto a a$a$$a+b$, sabemos $p$ divide $b$, contradiciendo ese $\gcd(a,b)=1$.)

Por lo tanto $$(a+b)^{\varphi(ab)} \equiv 1 \pmod {ab}$$ by Euler's Theorem. And $$(a+b)^{\varphi(ab)} \equiv \sum_{i=0}^{\varphi(ab)} \binom{\varphi(ab)}{i} a^i b^{\varphi(ab)-i} \equiv a^{\varphi(ab)}+b^{\varphi(ab)} \pmod {ab}$$ by the Binomial Theorem, since $\varphi(ab) \geq 1$.