Homomorphisms : Si $\ker\beta \subseteq \ker\alpha$ $\beta$ a, a continuación,$\alpha = \gamma \circ \beta$.

Question

Deje $\alpha : A \to B$ $\beta : A \to C$ ser homomorphisms con $\beta$ a y $\ker\beta \subseteq \ker\alpha$. Mostrar que hay un homomorphism $\gamma : C \to B$ tal que $\alpha = \gamma \circ \beta$.

Parece que tengo que usar el primer y segundo teoremas de isomorfismo. Por el primer teorema de isomorfismo me sale que:

Por $\beta$ a me sale un isomorfismo de $A/\ker\beta$ $C$

y a partir del segundo teorema de isomorfismo me sale que :

por $\ker\beta \subseteq \ker\alpha $ obtenemos $A/\ker\alpha \simeq (A/\ker\beta)\Big / (\ker\alpha \, / \ker\beta) $

No estoy seguro de cómo la pieza de estas para obtener este $\gamma$.

Answer 1

En lugar de pensar, "Que los teoremas debo usar para probar esto?", Quiero preguntar, "¿Qué podría este mapa $\gamma:C \longrightarrow B$ podría ser?" Para ello, supongamos $c$$C$. ¿Cómo podemos mapa de $c$ a $B$? Así, la única manera de saber de obtener algo en $B$ es el mapa $\alpha:A \longrightarrow B$, pero $c$ no $A$. Ah, pero $\beta$ es surjective, por lo $c$ tiene una pre-imagen (al menos uno) en $A$. Muy bien, vamos a tomar $a$ a ser una pre-imagen de $c$, por lo que el $\beta(a) = c$. Tal vez podemos definir $\gamma(c) = \alpha(a)$. ¿Esta producción bien definidos mapa?

El principal problema es este: Si $c$ tiene más de una pre-imagen en $\beta$, podría $\alpha$ enviarlos a distintos puntos en $B$? Si es así, entonces estamos hundidos; al menos, vamos a tener que encontrar un enfoque diferente. Para averiguarlo, vamos a $a$ $a'$ tanto en el pre-imágenes de $c$. Tenemos que mostrar que $\alpha(a) = \alpha(a')$. Pero ${\rm ker}(\beta) \subset {\rm ker}(\alpha)$, lo que implica que $\alpha(x) = \alpha(y)$ siempre $\beta(x) = \beta(y)$. Desde $\beta(a) = \beta(a')$, se deduce que el $\alpha(a) = \alpha(a')$, lo que implica que nuestra $\gamma$ es una función definida por (de conjuntos). Y desde $\alpha$ es una de morfismos, se deduce que el $\gamma$ es así.

por último,$\alpha = \gamma \circ \beta$? Sí, en efecto, por definición: Desde $a$ es en sí mismo una pre-imagen de $\beta(a)$, nuestra definición de la $\gamma$ implica que, para todos los $a \in A$, $\gamma(\beta(a)) = \alpha(a)$.