Estoy buscando una prueba de que la declaración siguiente: Dada una secuencia de variables aleatorias independientes $X_n$ satisfactorio
$$
\lim_{n\to \infty} E[X_n] = T,
$$
donde T es una constante, entonces
$$
\lim_{n\to \infty} V[X_n] = 0
$$
implica la convergencia de $X_n$ $T$en la media de la plaza. Esta declaración se suministra sin la prueba de referencia o en Shreve del Cálculo Estocástico libro.
Respuesta
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Asumo $V[X_n]$ es la varianza.
Deje $\mu_n = E[X_n]$ por comodidad, y escribir $$\begin{align*} E[(X_n - T)^2] &= E[(X_n - \mu_n + \mu_n - T)^2] \\ &= E[(X_n - \mu_n)^2] + (\mu_n - T)^2.\end{align*}$$
(La cruz de término desaparecido desde $E[X_n - \mu_n]=0$.) Ahora ambos términos se vaya a 0 por hipótesis.
