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¿Cómo eliminar estas soluciones adicionales? (encontrar el gcd de dos expresiones)

Demuestre que para cualquier número entero $n$ , $\gcd (3n^2+5n+7, n^2+1)=1$ o $41$ .

La siguiente respuesta es complicada porque he creado intencionadamente un exceso de soluciones. Sin embargo, ¡no consigo averiguar cómo eliminarlas! ¿Alguien puede hacerlo?

Dejemos que $$d=\gcd (3n^2+5n+7, n^2+1).$$ Entonces $$d|[(3n^2+5n+7)-3(n^2+1)]$$ $$d |(5n+4)$$ Y $$d | [5(3n^2+5n+7)-3n(5n+4)]$$ $$d |(13n+35)$$ Y $$d |[5(13n+35)-13(5n+4)]$$ $$d |123$$ Por lo tanto, $d= 1$ o $3$ o $41$ o $123$ .

8voto

Bernhard Hofmann Puntos 4741

O bien, puede escribir $$(-5n+4)(3n^2+5n+7)+(15n+13)(n^2+1)=41 \ .$$

6voto

De su último paso, obtenemos que $d = 1,3,41,123$ .

Recordemos que $$n^2 \equiv 0,1 \pmod{3} \text{ (Why?)}$$ Por lo tanto, $3$ (o) $123$ no divide $n^2+1$ .

EDITAR

Tenga en cuenta que cualquier $n$ es $0 \pmod{3}$ o $\pm1 \pmod{3}$ .

Por lo tanto, $n^2 \equiv 0,1 \pmod{3}$ . (Recordemos que si $x \equiv y \pmod{a}$ entonces $x^k \equiv y^k \pmod{a}$ .)

Por lo tanto, $n^2 + 1 \equiv 1,2 \pmod{3}$ . Esto significa que $3$ no divide $n^2+1$ . Por lo tanto, $3$ no puede dividir ningún divisor de $n^2+1$ . Esto nos permite descartar $d=3$ y $d=123$ .

1voto

David HAust Puntos 2696

Sugerencia $\, $ Dejemos que $\rm\:d = gcd$ Así que $\rm\:d\:|\ i^2\!+1,\, 7+5\,i+3\,i^2.\:$ Entonces, como tomar normas de enteros gaussianos, $$\rm\:mod\ d\!:\,\ i^2\equiv -1\ \Rightarrow\ 0\equiv 7+5\,i+3\,i^2\equiv 4+5\,i\ \Rightarrow\ 0\equiv (4+5\,i)(4-5\,i)\equiv 4^2\!+5^2\equiv 41$$

0voto

Anthony Shaw Puntos 858

Supongamos que $$ (3n^2+5n+7,n^2+1)=(5n+4,n^2+1)\ne1\tag{1} $$ entonces $$ (5n+4,n+i)=(4-5i,n+i)\ne1\tag{2} $$ o $$ (5n+4,n-i)=(4+5i,n-i)\ne1\tag{3} $$ Desde $4-5i$ es un primo gaussiano, $(2)\Rightarrow4-5i\,|\,n+i$ . Es decir, $$ \frac{n+i}{4-5i}=\frac{(4n-5)+(5n+4)i}{41}\in\mathbb{Z}[i]\tag{4} $$ que es verdadera si y sólo si $n\equiv32\pmod{41}$ .

Desde $4+5i$ es un primo gaussiano, $(3)\Rightarrow4+5i\,|\,n-i$ . Es decir, $$ \frac{n-i}{4+5i}=\frac{(4n-5)-(5n+4)i}{41}\in\mathbb{Z}[i]\tag{5} $$ que es verdadera si y sólo si $n\equiv32\pmod{41}$ .

Así, $(1)$ implica $$ (2)\Rightarrow4-5i\,|\,(5n+4,n^2+1)\text{ iff }n\equiv32\pmod{41}\tag{6} $$ o $$ (3)\Rightarrow4+5i\,|\,(5n+4,n^2+1)\text{ iff }n\equiv32\pmod{41}\tag{7} $$ Por lo tanto, $$ (1)\Rightarrow n\equiv32\pmod{41}\tag{8} $$ Es fácil comprobar que $$ n\equiv32\pmod{41}\Rightarrow41\,|\,(3n^2+5n+7,n^2+1)\tag{9} $$


Otra vez, $(1)$ implica $$ (2)\Rightarrow4-5i\,|\,(3n^2+5n+7,n^2+1)\Rightarrow4+5i\,|\,(3n^2+5n+7,n^2+1)\tag{10} $$ o $$ (3)\Rightarrow4+5i\,|\,(3n^2+5n+7,n^2+1)\Rightarrow4-5i\,|\,(3n^2+5n+7,n^2+1)\tag{11} $$ Por lo tanto, $$ (1)\Rightarrow41=(4-5i)(4+5i)\,|\,(3n^2+5n+7,n^2+1)\tag{12} $$ Por último, como señala Pambos, el Algoritmo Euclidiano da como resultado $$ (15n+13)(n^2+1)-(5n-4)(3n^2+5n+7)=41\tag{13} $$ Por lo tanto, $$ (3n^2+5n+7,n^2+1)\,|\,41\tag{14} $$

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