norma de potencia de la matriz ---fórmula recursiva

Question

Tengo una pregunta sobre el análisis de la matriz.

deje $A$ ser el siguiente $n \times n$-matriz con el número entero no negativo entradas.

$$\begin{pmatrix}0&k_2&k_3&\dots&k_n\\ k_1&0&k_3&\dots&k_n\\ k_1&k_2&0&\dots&k_n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ k_1&k_2&k_3&\dots&0\end{pmatrix}$$

es decir, el $j$-ésima fila de a $A$ $(k_1,k_2,\dots k_n)-(0,0,...,k_j,0,0)$

Cómo expresar la norma de $A^n$ en términos de $k_1, k_2,\dots, k_n$ y las entradas de $A^{(n-1)}$???

Answer 1

La que se derive una relación de la norma de frobenius debe ser fácil.

Definir $x_n=[k_1,k_2,\dots,k_n]^{T}$, entonces es sencillo ver que $||A_n||_{F}^{2}=(n-1)||x_n||^2_{2}$. El uso de esta fórmula recursiva, se puede derivar que el $||A_{n+1}||_{F}^{2}=||A_{n}||_{F}^{2}+||x_{n+1}||^2_{2}+(n-1)|k_{n+1}|^{2}$.

Derivando la inducida por la norma caso es un poco más complicado. Pero puede ser esta dirección puede ayudar.

Definir la matriz $T_n=ones(N,N)-I$ donde $ones(N,N)$ $N \times N$ matriz con todas las entradas como un y $I$ es la matriz identidad. Para obtener una sensación de que, para $N=4$, \begin{align} T_4=\left[ \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right] \end{align} Definir $D_n=diag(x_n)$ donde $x_n$ se define como la anterior y $D_n$ es la matriz diagonal con $x_n$ como las entradas de su diagonal. Tenga en cuenta que ahora su matriz $A_n$ es

$A_n=T_nD_n$

Nota de la observación de que los valores singulares de a$T_n$$(n-1,1,\dots,1)$. Considere el problema. \begin{align} \max_{||D_{n}^{-1}y||=1} ||T_ny||_{2} \end{align} No estoy seguro exactamente cómo se puede resolver esto. Una vez que usted puede resolver que la derivada de una relación entre los sucesivos inducida por la norma debería ser un asunto fácil.