Presentación de $\mathbb Z_n\rtimes _{\phi}Q_8$

Question

Con respecto a esta respuesta, estoy buscando para la presentación de $\mathbb Z_n\rtimes _{\phi}Q_8$, donde
$$Q_8=\langle a,b\mid a^4=1, a^2=b^2, ba=a^3b\rangle=\{1,a,a^2,a^3,b,ab,a^2b,a^3b\}, ~~\mathbb Z_n=\langle c\rangle.$$

Aquí, por simplicidad para mí, me la $n=3$, por lo que : $$\mathbb Z_3\rtimes _{\phi}Q_8 \;=\; \langle a,b,c \mid a^4=1, a^2=b^2, ba=a^3b, c^3=1, yx=\phi_y(x)y\rangle$$ in which $y\, en Q_8,~~x\in\mathbb Z_3$ and $\phi: Q_8\a Aut(\mathbb Z_3)$. The problem is really to define this homomorphism $\phi$ appropriately. Clearly, $\phi_y(1)=1$ and I have $$\phi_{a^i}(x)=?,~~\phi_{a^jb}(x)=?,~~\phi_b(x)=?, 1\leq i\leq3,~~1\le j\le 3$$ I thinking to myself to define $\phi_{a^i}(x)=id_{\mathbb Z_3}$ sólo para deshacerse de una parte. Estoy en un camino correcto? Alguna sugerencia?

Answer 1

Depende de a $n$, realmente. Tenga en cuenta que si $n = 2^{m}$,$m \ge 3$, $\operatorname{Aut}(G)$ no es cíclico, donde $G = \mathbb{Z}_{n}$. Más bien, es el producto directo de un cylic grupo de orden $2$, y un grupo cíclico de orden $2^{m-2}$.

Así, por ejemplo, cuando se $n = 8$ tiene, además de los grupos similares a los mencionados en otra respuesta, un grupo donde $$ c^{i} = c^{-1}, c^{j} = c^{3}, c^{k} = c^{-3}, $$ y variaciones.

Answer 2

Esto sólo viene a que $Q_8$ mapas para el grupo cíclico de orden dos (que es isomorfo a $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_3)$). Si desea que la acción no-trivial, desea que el mapa sea en (aunque esto no es cierto en general, sólo se necesita que la imagen no es trivial).

Así, escribir $Q_8=\langle i,j,k,x; i^2=j^2=k^2=ijk=x, x^2=1\rangle$ (Nota: estoy escribiendo $x$$-1$, como más adelante escribiré $c^x=c$ y si yo no estaba para hacer esto yo estaría escribiendo $c^{-1}=c$ que es tonto...). No trivial subgrupo de $Q_8$ contiene $x$, y por lo $x$ está contenida en el núcleo de cualquier mapa de $Q_8\twoheadrightarrow\mathbb{Z}_2$. La imagen de $Q_8/\langle x\rangle$ es el Klein $4$-grupo, que se asigna en el grupo cíclico de orden dos, de tres maneras. Por lo tanto, hay tres opciones para $\phi$.

En estos tres automorfismos de tener siempre $c^{x}=c$, y, a continuación, $c^p=c^{-1}$ $p\in\{i, j, k\}$ que no fue asesinado por nuestro mapa para el grupo cíclico de orden dos, y $c^p=c$ lo contrario. Los tres grupos son las siguientes. $$\begin{align*} \langle i,j,k,x, c&; i^2=j^2=k^2=ijk=x, x^2=1, c^2=1, c^x=c, c^i=c^{-1}, c^j=c^{-1}, c^k=c\rangle\\ \langle i,j,k,x, c&; i^2=j^2=k^2=ijk=x, x^2=1, c^2=1, c^x=c, c^i=c^{-1}, c^j=c, c^k=c^{-1}\rangle\\ \langle i,j,k,x, c&; i^2=j^2=k^2=ijk=x, x^2=1, c^2=1, c^x=c, c^i=c, c^j=c^{-1}, c^k=c^{-1}\rangle \end{align*}$$