Una manera de transformar de un par de ecuaciones diferenciales

Question

Esta pregunta se refiere a la Korteweg-de Vries ecuación.

Se sabe que la transformación de la $F=f^2+f_x$ transforma $$F_t-6FF_x+F_{xxx}=0$$ into $$f_t-6f^2f_x+f_{xxx}=0$$ donde $F=F(x,t), f=f(x,t)$

Sin embargo, he leído que a la inversa no funciona. En otras palabras, dado $F$, no es necesariamente cierto que $f$ implícitamente da por $F=f^2+f_x$ es una solución de la segunda ecuación diferencial. Hay un ejemplo para ilustrar esto?

Gracias.

Nadie?

Answer 1

Considerar el tiempo independiente de casos.

A continuación, $F \equiv C$ es una solución de la ecuación, ya que $F_x = F_{xxx} = 0$.

Un tiempo independiente de la transformación da $$ C = f^2 + f_x \implies f_x = C - f^2 \tag{1}$$ Así que $$ f_{xx} = -2 f f_x = -2C f + 2f^3 $$ y $$ f_{xxx} = -2C f_x + 6f^2 f_x = -2C^2 + 8C f^2 - 6f^4 $$

Por otro lado tenemos $$ 6f^2 f_x = 6f^2 C - 6f^4 $$ así $$ f_t - 6f^2 f_x + f_{xxx} = -2C f_x = -2C^2 + 2C f^2 $$ que dada la ODA (1) sólo puede desaparecer de forma idéntica, si bien

1. $C = 0$, o
2. $f^2 \equiv C$.

Así, en el caso de $C < 0$, ya que no tiene que ser un cuadrado perfecto ($f$ real valorados) llegamos a la conclusión de que $f$ no puede resolver la ecuación dada.

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Para obtener una real concreto función: vamos a $C = -1$, por integración directa vemos que $f = \cot (x)$ satisface $f_x = -1 - f^2$, por lo que corresponde a la solución de $F \equiv -1$ de la ecuación KdV, pero $$ f_t - 6 f^2 f_x + f_{xxx} = -2 \csc(x) \neq 0 $$