Los subconjuntos finitos conjuntos de vectores linealmente independientes son linealmente independientes

Question

Larson Y Edwards Falvo - Conocimientos Básicos De Álgebra Lineal

---

---

---

No entiendo la parte en rojo. Por favor explique ¿qué es exactamente la contradicción aquí.

(WOLOG?) S puede ser $v_1, v_2, ..., v_k, v_{k+1}$ $\sum_{i=1}^{k+1} c_iv_i = 0 \to c_i = 0$

Entonces, ¿qué si $\sum_{i=1}^{k} c_iv_i = 0, c_j \ne 0$?

WOLOG, supongo que es $c_1$. A continuación, $v_1$ se puede escribir como una combinación lineal de $v_2, ..., v_k$. Entonces no tengo idea de qué hacer.

Answer 1

Supongamos $T=\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\} \subset \{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} = S.$

Si $T$ es un conjunto de vectores linealmente dependiente, entonces existen escalares $c_1,c_2$ tal que $c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 = \mathbf 0$ $c_1,c_2$ no son tanto $0$.

Por lo tanto, existen escalares $c_1,c_2,c_3$ (donde $c_3=0$) tal que $c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + c_3\mathbf{c}_3 = \mathbf 0$ (los dos escalares $c_1,c_2$ sigue siendo el mismo escalares estaban por encima).

Por lo tanto, $S$ no sería linealmente independientes.

Answer 2

Deje $T=\{v_1,\dots,v_k\}$$S=\{v_1,\dots,v_k,v_{k+1},\dots,v_n\}$; supongamos $T$ es linealmente dependiente. Si $c_1,\dots,c_k$ son escalares, no todos cero, tales que $c_1v_1+\dots+c_kv_k=0$,$c_{k+1}=\dots=c_n=0$; a continuación, $c_1,\dots,c_n$ son escalares, no todos cero, tales que $$ c_1v_1+\dots+c_kv_k+c_{k+1}v_{k+1}+\dots+c_nv_n=0 $$ y, por tanto, $S$ es linealmente dependiente.

(Esto es una prueba de por contrapositivo, en lugar de por la contradicción.)

Alternativa: supongamos $S$ es linealmente independiente y supongamos $c_1v_1+\dots+c_kv_k=0$; set$c_{k+1}=\dots=c_n=0$, de modo que $$ c_1v_1+\dots+c_kv_k+c_{k+1}v_{k+1}+\dots+c_nv_n=0 $$ Por la independencia lineal de $S$ obtener $c_1=\dots=c_k=0$.

---

El "sin pérdida de generalidad" puede ser justificado por el hecho de que $T$ puede ser obtenida a partir de a $S$ por la sucesiva eliminación de un elemento; por lo tanto sólo se necesita demostrar la declaración de al $T$ se obtiene a partir de a $S$ mediante la eliminación de un elemento. Sin embargo, no creo que esto hace que la prueba más clara: la de arriba es más que la aplicación de las definiciones. Puedo encontrar el libro de sugerencias de al menos engañosa.