Explicar la contradicción.

Question

Considere el siguiente límite:$$\lim_{x \to\infty}\frac{2+2x+\sin(2x)}{(2x+\sin(2x))e^{\sin(x)}}$$

Si aplicamos la regla de L'hospital de entonces obtenemos:

Ya que la función $e^{-\sin(x)}$ es limitado y $\frac{4\cos(x)}{2x+4\cos(x)+\sin(2x)}e^{-\sin(x)}$ tiende a $0$.

Sin embargo, también se afirma que:

Por otra parte, (refiriéndose a la aplicación de la L'hospital de la Regla) se afirma en la conclusión de que:

Answer 1

Desde

$$-1 \leq -\sin x \leq 1, \ \ \ 1/e\leq e^{-\sin x}\leq e$$

Por lo tanto,

$$\frac{4\cos{x}}{2x+4\cos{x}+\sin{2x}}\cdot\frac{1}{e}\leq \frac{4\cos{x}}{2x+4\cos{x}+\sin{2x}}e^{-\sin{x}}\leq\frac{4\cos{x}}{2x+4\cos{x}+\sin{2x}}e$$

Sabemos que $$\lim_{x\to\infty}\frac{4\cos{x}}{2x+4\cos{x}+\sin{2x}}=0$$

Por lo tanto, por el Teorema del sándwich, $$\lim_{x\to\infty}\frac{4\cos{x}}{2x+4\cos{x}+\sin{2x}}e^{-\sin{x}}=0$$

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Inexistencia del límite de $e^{-\sin{x}}$ no implica que el límite de la expresión completa no existe.

Por ejemplo, límite de $(-1)^n$ $n$ $\infty$ no existe. Pero, límite de $\frac{(-1)^n}{n}$ no existe, y es igual a $0$, que también puede ser comprobada mediante el Teorema del sándwich.

No parece haber nada malo con la pregunta original.

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EDITAR Después de leer la edición del post, yo estaba muy sorprendido de encontrar un ejemplo donde de L'Hospital de la regla no parece realmente funciona! Miré en la Wikipedia, y dice que la derivada del denominador no debe ser cero.

Supongo que esto no es un contraejemplo, sólo que de L'Hospital de la regla no se puede aplicar aquí.

Answer 2

La prueba del Hôpital de la regla se apoya en la siguiente forma del valor medio teorema: Si $f$ $g$ ambas son continuas en a $[a,b]$ y derivable en el interior de la $\ ]a,b[\ $, y si $g'(t)\ne0$ todos los $t\in\ ]a,b[\ $, entonces no es un $\tau\in\ ]a,b[\ $ tal que $${f(b)-f(a)\over g(b)-g(a)}={f'(\tau)\over g'(\tau)}\ .$$ "Los técnicos de la asunción" $g'(t)\ne0$ es violada en el ejemplo a mano.

Sería bueno tener un simple ejemplo donde se hace intuitivamente claro por qué las cosas pueden ir mal en este caso.

Answer 3

Primero de todo, +1 para venir para arriba con un ejemplo que parece violar la L'Hospital de la Regla. Sin embargo, tenga en cuenta que si $f(x)/g(x)$ es la expresión original, a continuación,$$\frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{4\cos^{2}x}{4\cos^{2}x + (2x + \sin 2x)\cos x}\cdot e^{-\sin x}$$ The problem now is that the limit of $ f'(x)/g'(x)$ does not exist as $x \to \infty$ because the function $f'(x)/g'(x)$ is not defined in any interval of type $(a, \infty)$ precisely because the denominator $g'(x)$ vanishes for $x = (2n + 1)\pi/2$ for all $n \in \mathbb{Z}$.

Como he mencionado en otra parte de MSE es importante entender las condiciones bajo las cuales L'Hospital de la Regla es aplicable. Debemos asegurarnos de que la relación de $f'(x)/g'(x)$ tiende a un límite (o diverge a $\pm\infty$) y sólo entonces podemos concluir que el comportamiento de la misma para la relación de $f(x)/g(x)$. Aparte de esto tenemos la relación de $f(x)/g(x)$ a ser una de las formas indeterminadas "$0/0$" y "$\text{anything}/\pm\infty$".