Isometría en bloques abiertos

Question

Hola gente, estoy trabajando en este problema (no sé si es cierto, sin embargo).

Deje $f:\mathbb R^m \to \mathbb R^m$ $C^1$ función, $V_0$ $W_0$ abrir conjuntos de $\mathbb R^m$ tal que $f|_{V_0}$ $f|_{W_0}$ es una isometría es decir:

• $d(x_1,x_2)=d(f(x_1),f(x_2))$ todos los $x_1,x_2\in V_0$
• $d(y_1,y_2)=d(f(y_1),f(y_2))$ todos los $y_1,y_2\in W_0$

Si $x_0\in V_0$, $y_0\in W_0$ y $d(x_0,y_0)=d(f(x_0),f(y_0))$, entonces:

• $d(x,y)=d(f(x),f(y))$ todos los $x\in V_0$$y\in W_0$.

Todo lo que podía hacer hasta ahora, era demostrar que para todos los $x\in V_0$$y\in W_0$, si denotamos $a=d(x,x_0)+d(x_0,y_0)+d(y_0,y)$$b=d(f(x),f(x_0))+d(f(x_0),f(y_0))+d(f(y_0),f(y))$, $a=b$ y

• $d(f(x),f(y))\leq a$

• $ d(x,y)\leq a$

Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

Esto no es cierto: tome $\mathbb{R}^2$, vamos a $d$ ser la habitual distancia Euclídea, y $V_0$, $W_0$ dos abiertos disjuntos discos con distintos cierres (de manera que la distancia mínima entre ellos es positiva, básicamente). Definir $f$ a ser una rotación por un pequeño ángulo positivo en un disco, y la rotación por un pequeño negativo de uno sobre el otro, y suave en el medio. Obviamente, esto satisface la isometría condición.

Entonces si tomamos $x_0$ como el centro de la $V_0$ $y_0$ como el centro de $W_0$, $d(x_0,y_0) = d(f(x_0),f(y_0))$, pero evidentemente este no es el caso para arbitrario $x \in V_0,y \in W_0$ (los puntos en las zonas cercanas a los puntos más cercanos se alejan el uno del otro, por ejemplo).

Answer 2

Esto no es cierto. Si $m=1$$d(x,y)=|x-y|$, vamos a $f:\mathbb R\to \mathbb R$ ser definido de tal forma que $f(x)=-x$ cuando $0\leq x\leq 1$, $f(x)= 4-x$ al $2\leq x\leq 3$, y extender suavemente para todos los de $\mathbb R$.

Vamos $V_0=(0,1)$, $W_0=(2,3)$, $x_0=\frac12$, y $y_0=\frac52$. A continuación, $f$ es una isometría en cada uno de estos bloques abiertos, y $|f(\frac12)-f(\frac52)|=|-\frac12-(4-\frac52)|=2=|\frac12-\frac52|$. Sin embargo $|f(\frac14)-f(\frac{11}{4})|=\frac32\neq\frac52=|\frac14-\frac{11}{4}|$.

Específicamente, usted podría tomar $f(x)=-x$ cuando $x\leq 1$, $f(x)=4-x$ al $x\geq 2$, e $f(x)=16(x-\frac32)^5-16(x-\frac32)^3+6(x-\frac32)+\frac12$ al $1\leq x\leq 2$ para obtener una imagen como esta: