Si $X$ $Y$ son discretas variables aleatorias, a continuación, $E(X|Y)=E(X|Y^3)$

Question

Supongamos $X$ $Y$ son discretas variables aleatorias. Mostrar que $$E(X|Y)=E(X|Y^3)$$

El condicional valor esperado de una variable aleatoria discreta se expresa como $$E(X|Y)=\sum xp_{X|Y}(x|y) \quad \text{where} \quad p_{X|Y}(x|y)=\frac{p_{X,Y}(x,y)}{p_Y(y)}$$

Del mismo modo, se puede decir que $$E(X|Y^3)=\sum x p_{X|Y^3}(x|y^3) \quad \text{where} \quad p_{X|Y^3}(x|y^3)=\frac{p_{X,Y^3}(x,y^3)}{p_{Y^3}(y^3)}$$

La meta es mostrar que

$$\sum xp_{X|Y}(x|y)=\sum xp_{X|Y^3}(x|y^3)$$

A partir de aquí yo realmente no sé cómo demostrar que los dos son iguales, un poco de ayuda sería apreciada.

Answer 1

Proporcionar un enfoque genérico. Estrictamente hablando, $\mathbb E[X|Y]$ es sólo una notación, lo que realmente significa es $\mathbb E[X|\sigma(Y)]$ donde $\sigma(Y)$ $\sigma$- campo generado por $Y$ (ver la definición a continuación).

Prueba. Tenemos que mostrar que $\sigma(Y)=\sigma(Y^3)$.

Vamos $f(x)=x^3$, $x \in \mathbb R$, a continuación, $Y^3=f \circ Y$ $$\sigma(Y)=\{Y^{-1}(A)|A \in \mathcal B(\mathbb R)\}=\{Y^{-1}\circ f^{-1}\circ f(A)|A \in \mathcal B(\mathbb R)\}$$

$$\sigma(Y^3)=\{(f\circ Y)^{-1}(A)|A \in \mathcal B(\mathbb R)\}=\{Y^{-1} \circ f^{-1}(A)|A \in \mathcal B(\mathbb R)\}$$

Ahora note que tanto $f(x)=x^3$ $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$ son monótonas funciones, y por lo tanto ambos son Borel medible (Esto es por la Proposición 5.10 de Análisis Real para los Estudiantes de Posgrado Richard F. Bass).

Por lo tanto las dos sigma álgebra de operadores son los mismos, debido a: $f$ Borel medible, obtenemos $\sigma(Y^3)\subset \sigma(Y)$; $f^{-1}$ Borel medible, obtenemos $\sigma(Y) \subset \sigma(Y^3)$.

Answer 2

Deje $S$ denotar el espacio muestral. Observe que tanto $\mathbb{E}(X|Y):S\rightarrow \mathbb{R}$ $\mathbb{E}(X|Y^3):S\rightarrow \mathbb{R}$ son variables aleatorias, y la siguiente se tiene:

$\mathbb{E}(X|Y)(s) = \mathbb{E}(X|Y = Y(s)) = \mathbb{E}(X|Y^3 = (Y(s))^3) = \mathbb{E}(X|Y^3 = Y^3(s))= \mathbb{E}(X|Y^3)(s)$

para todos los $s\in S$.

Por lo tanto, $\mathbb{E}(X|Y)= \mathbb{E}(X|Y^3)$.