Urna de Polya (martingala)

Question

Supongamos que tienes una urna que contiene una bola roja y otra verde. Sacas una al azar; si la bola es roja, la vuelves a meter en la urna con una bola roja adicional , si no, la vuelves a meter y añades una bola verde . Repite este procedimiento y deja que la variable aleatoria $X_n$ es el número de bolas rojas en la urna después de n extracciones. Sea $Y_n=\frac{1}{n+2}X_n$ . Encuentre $\mathbb{\mathbb{\textrm{E}}}\left(Y_{n}\right)$ y demostrar que $Y_n$ es una martingala con respecto a $X_n$ .

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MI INTENTO:

Tenemos $\mathbb{\mathbb{\textrm{E}}}\left(\left.X_{n+1}\right|X_{n}\right)=X_{n}+\dfrac{X_{n}}{n+2}=\dfrac{n+3}{n+2}X_{n}$ Así que

$\mathbb{\mathbb{\textrm{E}}}\left(\left.Y_{n+1}\right|X_{n}\right)=\dfrac{1}{n+3}\mathbb{\mathbb{\textrm{E}}}\left(\left.X_{n+1}\right|X_{n}\right)=\dfrac{1}{n+3}\cdot\dfrac{n+3}{n+2}X_{n}=\dfrac{1}{n+2}\cdot X_{n}=Y_{n}$

¿Está bien?

Y, ¿puede ayudarme a encontrar $\mathbb{\mathbb{\textrm{E}}}\left(Y_{n}\right)$ ?

Answer 1

Se ve bien, como de hecho $$ X_{n+1} = X_n + R_{n+1},$$ donde $R_{i}$ denota la variable indicadora que toma valor $1$ si el color del $i$ -la bola extraída es roja, y $0$ si es verde. Por definición tenemos que la urna contiene $X_n$ rojo y $n+2-X_n$ bolas verdes después de $n$ extracciones. Entonces la probabilidad condicional dada $X_n$ de una bola roja en el $n+1$ -ésima extracción (igual a la expectativa condicional dada $X_n$ de $R_{n+1}$ que necesitamos) es $$\frac{X_n}{n+2}=Y_n.$$ También observamos que $$ X_n = 1+\sum_{i=1}^n R_i. $$ Tomando la expectativa obtenemos: $$ \mathbf{E}\left[ X_n\right] = 1+\sum_{i=1}^n \mathbf{E}\left[ R_i\right].$$ Como todos los $R_i$ tienen la misma distribución que $R_1$ obtenemos: $$ \mathbf{E}\left[ R_i\right] = \mathbf{E}\left[ R_1\right] =\frac{1}{2},$$ para todos $i\in \{1,\ldots , n\}$ . Nuestras variables indicadoras tienen la misma distribución debido a que la secuencia de variables $R_1,\ldots, R_n$ es intercambiable como su distribución conjunta
$$\mathbf{P}\left(R_1=c_1,\ldots, R_n=c_n\right) $$ $$= \mathbf{P}\left(R_1=c_1\right)\mathbf{P}\left(R_2=c_2 | R_1=c_1\right) \ldots\mathbf{P}\left(R_n=c_n | R_1=c_1,\ldots, R_{n-1}=c_{n-1}\right) $$ $$ = \frac{c!(n-c)!}{(n+1)!}$$ depende de $c_1,\ldots,c_n$ sólo a través del número de bolas rojas $c$ , $c=c_1+\ldots + c_n$ .

Para concluir, tenemos $\mathbf{E}[X_n]=(n+2)/2$ Así que $$\mathbf{E}[Y_n]=1/2.$$ Esto también se puede ver directamente, ya que sabemos que $Y_n$ es una martingala, por lo que ( prueba aquí ) $$\mathbf{E}[Y_n]=\mathbf{E}[Y_{n-1}]=\ldots = \mathbf{E}[Y_1]=1/2.$$