Cómo verificar la integral con la función hipergeométrica

Question

Al intentar evaluar la siguiente integral, Mathematica devuelve este resultado:

$$ \int \frac{e^{-\tau \omega}}{1+e^{-\beta \omega}} d \omega = \frac{e^{(\beta - \tau) \omega} \cdot {}_2F_1(1, 1-\frac{\tau}{\beta}, 2 - \frac{\tau}{\beta}, -e^{\beta \omega})}{\beta - \tau} $$

$\beta$ y $\tau$ pueden tratarse como constantes en este punto. Desgraciadamente, no tengo ni idea de cómo podría conseguir el mismo resultado con lápiz y papel. ¿Alguien tiene una idea?

Answer 1

Expandir la rhs en serie y diferenciar. O hacer un cambio de variable en lhs $t=e^{-\beta \omega}$ , ampliar en serie e integrar.

Answer 2

¿Diferencia el lado derecho para obtener el integrando del lado izquierdo? Observa: $$ \frac{d}{dz} {}_2F_1(a,b;c;z) = \frac{ab}{c}\;{}_2F_1(a+1,b+1;c+1;z) $$