En otras palabras... hay una cosa que es para los números imaginarios lo que los números imaginarios son números reales? Y este podría ser expresado como un "complejo" tipo de número? Si un número complejo es de la forma x + yi, supongo que esto podría ser en forma de x + yi + zj? ¿De que existe como un concepto?
Respuestas
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Sí. Los números similar a lo que quizá se han sugerido no existen. Los Cuaterniones son un ejemplo canónico. Tu antiguo número complejo puede escribirse $a + ib$. Aquí tenemos los números de la forma $a + ib + jc + kd$. Las reglas para la multiplicación de números tales son discutidos en el enlace de Wikipedia arriba.
Estos tienen aplicaciones en matemáticas aplicadas, especialmente las cosas que requieren de tres dimensiones. Pura matemáticas también se utiliza a veces como que forman un sesgo de campo.
Stephan Aßmus
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16
A la derecha. Para un poco de sabor, el de los números complejos están perfectamente representados por matrices de este patrón: $$ \left( \begin{array}{rr} a & b \\ -b & a \end{array} \right) , $$ con $a,b \in \mathbb R.$ En particular, $$ 1 \rightarrow \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) , \; \; \; \; i \rightarrow \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) . $$
Una vez que usted acepta los números complejos, los cuaterniones son perfectamente representados por matrices de esta relacionada con el patrón: $$ \left( \begin{array}{rr} \alpha & \beta \\ -\bar{\beta} & \bar{\alpha} \end{array} \right) , $$ con $\alpha, \beta \in \mathbb C.$, En particular, $$ 1 \rightarrow \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) , \; \; \; \; i \rightarrow \left( \begin{array}{rr} i & 0 \\ 0 & -i \end{array} \right) , \; \; \; \; j \rightarrow \left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right) , \; \; \; \; k \rightarrow \left( \begin{array}{rr} 0 & i \\ i & 0 \end{array} \right) . $$ Si usted prefiere, puede sustituir el 2 por 2 matrices complejas con 4 por 4 real de las matrices, con lo cual todas las entradas de las matrices para $1,i,j,k$ $0,\pm 1.$ Sólo un poco más difícil de recordar.
resting
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382
En un sentido, sí. Hay un número de sistema llamado de los Cuaterniones, que es una extensión de los números complejos. Usted puede encontrar la página de la Wikipedia aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion
En los números complejos, tenemos $i^2 = -1$, pero en los cuaterniones, que se extienden a $i, j, k$, todavía tenemos $i^2 = -1$, pero también tenemos diferentes normas como$ij = k$$jk = i$. Este número del sistema juega un papel importante en la simplificación de ingeniería de ecuaciones, así como los números complejos simplificar las ecuaciones que describen el electromagnetismo y la dinámica de fluidos.
Ciertamente, usted puede extender este sistema a voluntad muchas variables, tanto tiempo como la base de reglas (axiomas) son consistentes. Y realmente, eso es algo que los matemáticos: Crear estructuras, dar reglas básicas, y a ver qué sale de eso.
Jared
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3856
No hay ninguna tal cosa. Para entender esto hay que entender el imaginario de la unidad: $i$ resuelve la ecuación de $x^2 = -1$--que es $i^2 = -1$. De inmediato hay es un "problema" porque $-i$ resuelve esta ecuación tan bien como $+i$: $\left(-i\right)^2 = (-1)^2i^2 = +1i^2 = -1$ y $\left(+i\right)^2 = (+1)^2i^2 = i^2 = -1$, por lo que elegimos? Elegimos $-i$ o elegimos $+i$. La respuesta es que nosotros podemos elegir ni y en lugar de definir $i$--definimos $i$ tal que $i^2 = -1$--no importa si queremos realmente decir $-i$ o $+i$ - acabamos de elegir uno de los dos ("escogemos" $+i$ porque ¿por qué llevar la carga de la negativa cuando es equivalente).
Así que decir que no existe un análogo de la unidad compleja $i$ significaría que hay algo de valor de $x, y \in \mathbb{C}$ de manera tal que la siguiente ecuación no se puede resolver con números complejos tales que $x^2 = y$ donde $x,y \in \mathbb{C}$. Esto no es posible, hay un valor de $x \in \mathbb{C}$ tal que $x^2 = y$ para todos los valores en $y\in\mathbb{C}$. Podemos ir más allá y decir que existe al menos un valor de $x \in \mathbb{C}$ tal que para todos los valores de $y \in \mathbb{C}$, $x^n = y$ donde $n$ es un número natural (y se podría ampliar a $n$ ser un real positivo o un valor no-cero de valor complejas).
Yo no estoy familiarizado con estos Qauternion valores, pero estos suenan como una dimensión superior análogos. Soy estrictamente hablando acerca de $1$D valores. El número imaginario resuelve un insolvable problema de $\mathbb{R}^1$. Una vez que ampliamos $\mathbb{R}^1$ para incluir a $\mathbb{C}^1$ todos estos problemas se pueden resolver.
