Para demostrar la equivalencia de la definición de integral de Riemann.

Question

Tengo algunos problemas con la integral de Riemann, específicamente, la definición de la misma en un artículo en la wikipedia.

Decimos que la integral de Riemann de $f$ es igual a s si las siguientes condiciones se tiene:

Para un determinado $\varepsilon>0$ existe $\delta$ tal que para cualquier partición etiquetada $x_0,\cdots,x_n$ $t_0,\cdots,t_{n-1}$ cuya malla es menor que $\delta$, tenemos $$\left|\sum_{i=0}^{n-1}f(t_i)(x_{i+1}-x_i)-s\right|<\varepsilon.$$

Por desgracia, esta definición es muy difícil de usar. Sería de gran ayuda para desarrollar un equivalente a la definición de la integral de Riemann que es más fácil trabajar con. Desarrollamos esta definición ahora, con una prueba de equivalencia siguiente.(?) Nuestra nueva definición dice que la integral de Riemann de f es igual a s si las siguientes condiciones se tiene:

Para todos los $\varepsilon>0$, existe una partición etiquetada $x_0,\cdots,x_n$ $t_0,\cdots,t_{n-1}$ tal que para cualquier refinamiento $y_0,\cdots,y_m$$s_0,\cdots,s_{m-1}$$x_0,\cdots,x_n$$t_0,\cdots,t_{n-1}$, tenemos $$\left|\sum_{i=0}^{m-1}f(s_i)(y_{i+1}-y_i)-s\right|<\varepsilon.$$

• Es fácil mostrar que la primera definición implica la segunda.
• Para mostrar que la segunda definición implica que el primero, es más fácil utilizar la integral de Darboux. Primera muestra de que la segunda definición es equivalente a la definición de la integral de Darboux; para esto quiero que me den algunos consejos. Sin embargo, sé que también es fácil demostrar que un Darboux integrable función satisface la primera definición.

El artículo original dice que la segunda definición es equivalente a la definición de la integral de Darboux; para esto, vea el artículo sobre Darboux integración. Bueno, no pude encontrar nada de información útil.

Answer 1

Su definición es

$(1)$ $f\in \mathscr R[a,b]$ con la forma de $\int_a^b f$ si y sólo si para cada una de las $\epsilon >0$ existe $\delta >0$ tal que para cualquier partición $P$ $\lVert P\rVert <\delta$ tenemos que $$\left|\int_a^b f-\sum(f,P)\right|<\epsilon$$

donde $\sum(f,P)$ significa que la suma de Riemann de $f$ con respecto al $P$. La definición alternativa es

$(2)$ $f\in \mathscr R[a,b]$ con la forma de $\int_a^b f$ si y sólo si para cada una de las $\epsilon >0$ existe una partición de $P_\epsilon$ tal que para cualquier partición $P$ un refinamiento de la $P_\epsilon$ tenemos que $$\left|\int_a^b f-\sum(f,P)\right|<\epsilon$$

Nos gustaría mostrar una implica la otra. Primero

$(1) \implies (2)$ Supongamos $(1)$ mantiene. Desde refinamientos sólo puede disminuir la malla, y $\delta$ depende de $\epsilon$, la demanda de la siguiente manera: para cada una de las $\epsilon>0$ tomar una partición $P_\epsilon$ con malla $\delta'<\delta$ dada por el anterior. Entonces cualquier refiniment se han de malla en la mayoría de las $\delta'$ que será menos de $\delta$, y, por tanto, $(2)$ le depara.

$(2)\implies (1)$ Esto es complicado. Aquí usted puede encontrar una prueba de

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Una sencilla caracterización de integrabilidad de Riemann es la siguiente, que no requiere que sabemos cuál es el valor de la integral es:

$f:[a,b]\to\Bbb R$ es Riemann integrable sobre $[a,b]$ si y sólo si para cada una de las $\epsilon >0$ existe una partición de $P_\epsilon$ tal que para cualquier refinamiento $P$ de $P_\epsilon$ $$U(f,P)-L(f,P)<\epsilon$$

Por otra parte, esto es equivalente a $$\overline{\int_a^b} f=\underline{\int_a^b}f$$

así que si eres capaz de demostrar lo anterior y evaluar cualquier superior o inferior de la integral, ya está hecho.

De hecho, esto se aplica a la definición de la integral Stieljes integral siempre que el integrador $\alpha$ es montone.

Deje $\alpha:[a,b]\to\Bbb R$ ser monótono. Deje $f:[a,b]\to\Bbb R$. A continuación, los siguientes son equivalentes:

$(1)$ La función de $f$ es Riemann-Stieltjes integrable con respecto a $\alpha$ $[a,b]$

$(2)$ Por cada $\epsilon >0$ existe una partición de $P_\epsilon$ tal que para cualquier refinamiento $P$ de $P_\epsilon$ $$U(f,\alpha,P)-L(f,\alpha,P)<\epsilon$$

$(3)$ $$\overline{\int_a^b} f=\underline{\int_a^b}f$$