Do Carmo Riemanniam la Geometría de la Página 46 quesion 7

Question

En Do Carmo Geometría de Riemann, en la página 46 a la pregunta 7, nos muestran que si $G$ es un compacto conectado Mentira grupo tiene un bi-invariante de la métrica de Riemann. en la primera parte tenemos la obligación de mostrar que si $w$ es una izquierda invariantes diferenciales de n-forma, es también invariante. He demostrado que para cualquier $a\in G$ tenemos $\textbf{R}^*_aw$ se deja invariante. Do Carmo, a continuación, dice:

$\cdots$ se sigue que $\textbf{R}^*_aw=f(a)w$.

Es que una obvia relación que me falta, o es algo que requiere un comprobante?

Answer 1

No hay, hasta un factor constante, sólo uno a la izquierda-invariante $n$forma: Si $\omega_1 (e) = c \omega_2 (e)$ algunos $c$ donde $e\in G$ es la identidad, entonces para cualquier $g\in G$,

$$w_1(g) = (L_g^*)^{-1} \omega _1 (e) =c (L_g^*)^{-1} \omega _2 (e) = c\omega_2 (g).$$

Ahora $R_a^* \omega$ $\omega$ son tanto de izquierda-invariante, entonces son de por una constante $f(a)$.

Answer 2

La respuesta de juan es excelente, pero le falta un detalle que puede ser no trivial para alguien que es nuevo en la geometría diferencial:

Cada $n$-forma en un $n$-dimensiones del colector $M$ es una sección de una línea de paquete. Esto significa que si $\omega$ $\omega'$ son de dos no de fuga $n$formularios en $M$, luego se diferencian por una función; no existe $g:M\to\mathbb{R}$, de tal manera que $\omega'=g\omega$. (Tenga en cuenta que esto es cierto para cualquier colector, no necesariamente una Mentira grupo). Ahora, si $M$ es una Mentira grupo y las formas diferenciales en cuestión se dejan invariante, la función de $g$ es en realidad constante, como ya se ha explicado por Juan.