¿La probabilidad de obtener un 2 sólo una vez cuando se lanza un dado tres veces?

Question

Se lanza un dado tres veces. Muestre la probabilidad de obtener un $2$ en una sola ocasión en el diagrama de árbol de probabilidad y encontrar la probabilidad.

Mi enfoque:

Cuando se lanza un dado una vez, el espacio de la muestra es $6$ . Cuando se lanza dos veces, el espacio muestral es $36$ y cuando se lanza el dado tres veces, el espacio de la muestra es $216$ . Pero, ¿cómo podría ajustar el diagrama de árbol con $216$ espacio de muestra en una hoja de papel.

Además, le hice esta pregunta a mi profesor en la escuela, él también no pudo dibujar el diagrama de árbol. Sin embargo, obtuvo la respuesta como $\frac {25}{72}$ pero la respuesta que se da en mi libro es $\frac {1}{8}$ .

Por favor, ayúdenme a resolver esto.

Answer 1

Tal vez no dibujar todo $216$ ramas, sólo dibuja todas las que contienen un $2$ y combinarlo con su conocimiento de que el tamaño del espacio muestral es $216$

Sólo hay que contar el número de resultados que contienen un $2$ . Si vamos con la rama izquierda después de Roll $1$ tenemos "A $2$ ", y luego en Roll $3$ tenemos $5$ opciones que son "No es un $2$ ", un éxito. Si seguimos la rama correcta después de Roll $1$ tenemos " $5$ ramas" con "No es un $2$ ", y cada una tiene una sola rama con un $2$ Así que ahora nuestro total es de $10$ .

Puede hacerlo para cada $1, 2, 3, 4, 5, 6$ en el rollo $1$ y todos serán básicamente iguales, excepto cuando se ruede $1$ es un $2$ .

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Ahora tenemos $10$ resultados que contienen sólo una $2$ para cada uno de los Roll $1 = 1, 3, 4, 5, 6$ , por lo que tenemos $50$ . Cuando el rollo $1 = 2$ tenemos $25$ resultados que contienen sólo una $2$ . Así que la respuesta correcta debería ser $\dfrac {75}{216}$ o $\dfrac {25}{72}$

$$P(\text{exactly one 2}) = \dfrac {25}{72}$$

Answer 2

Para qué molestarse en dibujar todo del 1 al 6 si lo único que te importa es si es 2 o no. Así que realmente tienes $2$ y $\overline{2}$

Los tres casos de sacar un solo 2 en los 3 lanzamientos se pueden representar como

$\overline{2}$ - $\overline{2}$ - $2$

$\overline{2}$ - $2$ - $\overline{2}$

$2$ - $\overline{2}$ - $\overline{2}$

Es ${1\over8}$ o ${25\over72}$ ?

Para encontrar la probabilidad global de los 3 casos, recuerde las 2 reglas para dichos árboles:

1. recorrer una rama significa multiplicar las probabilidades y el resultado es la probabilidad de que ocurra toda la rama
2. la suma de las probabilidades de varias ramas se realiza sumando las mismas

Las probabilidades individuales son $$P\big(2\big) = {1\over6} \qquad P\big(\overline{2}\big) = 1-P\big(2\big) = {5\over6}$$

La probabilidad de la primera rama es $$P\big(\overline{2} - \overline{2} - 2\big) = P\big(\overline{2}\big) \cdot P\big(\overline{2}\big) \cdot P\big(2\big) = {5\over6}\cdot {5\over6}\cdot{1\over6} = {25\over216}$$

Dado que las 3 ramas tienen la misma probabilidad anterior, la probabilidad de las 3 ramas es sólo 3 veces mayor:

$$P\big(\text{single 2 in 3 throws}\big) = 3 \cdot P\big(\overline{2} - \overline{2} - 2\big) = {75\over216} = {25\over72} $$

Answer 3

Para ayudarte con el árbol, considera el siguiente enfoque.

En lugar de considerar todos los $216$ casos, sólo se dividen en si se obtiene un $2$ en cada lanzamiento. Su árbol debe consistir sólo en $2^3=8$ hojas.

Answer 4

Una respuesta corta pero todas las demás ya están claras. Hay 3 maneras de conseguir sólo un 2 una vez :

• obteniendo un 2 con el primer lanzamiento y no un 2 con los otros 2 : $\frac16 \frac56 \frac56$
• obteniendo un 2 con el 2º lanzamiento y no un 2 con los otros 2 : $\frac56 \frac16 \frac56$
• y conseguir un 2 con el tercer lanzamiento y no un 2 con los otros dos : $\frac56 \frac56 \frac16$

Entonces suma las probabilidades de cada caso y encontrarás $3 \frac56 \frac16 \frac56 = 25/72$

Ahora el reto es encontrar qué modificación de la pregunta lleva a una probabilidad de $\frac18$ aparte 3 veces un número par.

Answer 5

La forma más fácil de hacerlo es sin un árbol de probabilidad en absoluto; aunque si tuvieras que dibujar un diagrama de árbol, sería mejor dibujar ramas para "2" y "no 2" en lugar de "1", "2", "3", "4", "5" y "6" (el primero te da 2 ramas a la potencia de 3 tiradas = 8 ramas, mientras que el segundo te da 3^6 = 216 como has dicho).

La solución más sencilla es utilizar la distribución binomial. La distribución binomial calcula la probabilidad de que algo ocurra un número distinto de veces dado el número de oportunidades (tiradas en este caso) y la probabilidad (1/6 en este caso). Para calcularlo, considera la siguiente expansión:

$$(\frac{1}{6}+\frac{5}{6})^3=(\frac{1}{6})^3+3(\frac{1}{6})^2(\frac{5}{6})+3(\frac{1}{6})(\frac{5}{6})^2+(\frac{5}{6})^3$$

Esta expansión binomial representa cada combinación de $\frac{1}{6}$ y $\frac{5}{6}$ si tuvieras que elegir 3 en total - las posibilidades son (usaré '2' para sacar un 2, 'N' para sacar un no 2):

222, 22N, 2N2, N22, 2NN, N2N, NN2, NNN

Si los cuentas, verás un lote de 222, tres de 22N (sólo que en distinto orden), tres de 2NN (de nuevo en distinto orden) y un lote de NNN - que corresponden a los coeficientes de los términos de la expansión anterior. Así que para calcular la probabilidad de obtener exactamente un 2 y dos "no 2" es P(2) * P(No 2) * P(No 2) * 3, que es lo que se escribe en la expansión anterior y se calcula:

$$3(\frac{1}{6})(\frac{5}{6})^2=\frac{25}{72}$$

Ahora puede que piense: "¿Y qué pasa con exactamente 6 pares de 10 tiradas? No quiero ampliar todo eso". El atajo es Triángulo de Pascal - o simplemente puedes utilizar la fórmula:

$$X \text{~} Bin(10, \frac{1}{6})$$ $$P(X=6)=\binom{10}{6}(\frac{1}{6})^6(\frac{5}{6})^4=\frac{10!}{6!(10-6)!}(\frac{1}{6})^6(\frac{5}{6})^4=0.00217.....$$

Esto significa que "X sigue la distribución binomial con 10 intentos y probabilidad de éxito 1/6". La segunda línea significa 'la probabilidad de obtener exactamente 6 aciertos es 10 Elige 2 (el 10 por encima del 2) x éxito^6 x fracaso^4'. La fórmula para n-choose-r (número de maneras de elegir exactamente r elementos de n) es

$$\frac{n!}{r!(n-r)!}$$