Supongo que convencionalmente se piensa en los fundamentales de la representación y de la anti-fundamental de la representación de $U(n)$ como el complejo de $n-$dimensiones de la representación y su complejo conjugado.
Pero $U(n)$ ser un rango $n$ grupo no debería no ser $n$ representaciones fundamentales de la misma correspondiente a la $n$ fundamental pesos (doble a su $n$ simple raíces)?
En los fundamentales de la representación pienso en el Cartan de ${\cal u}(n)$ para ser distribuido por el $n$ diagonal de las matrices de ${\cal u}(n)$ todos los $0$s, salvo que un $1$, entonces creo que el $n$ vectores $(0,..,1,..0)$ ($1$ cambiando a través de la $n$ posiciones) puede ser pensado como la $n$ peso-vectores de la representación?
- Y lo mismo con los vectores de la $1$ reemplazado por $-1$ ser pensado como el peso de los vectores de la anti-fundamental de la representación? (desde conjugada transpuesta de cualquier elemento de ${\cal u}(n)$ es negativo?)
Ingenuamente, el de arriba parece depender de si creo que de la Mentira álgebra de $U(n)$ $n\times n$ Hermitian o sesgar-Hermitian matrices dependiendo de si estoy o no de tener un "$i$" al tomar la exponenciación de la Mentira de álgebra.
Sería de gran ayuda si alguien puede ayudar a desentrañar este (posiblemente hay una mezcla de lo que es una propiedad intrínseca del grupo y de lo que es el convenio)
- Hay un analogoue de la anterior construcción para $U(n)$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En algunos contextos, la repns $\bigwedge^k \mathbb C^n$ $k=1,\ldots,n$ son llamados "fundamentales". El peso más alto en el grupo de es $(h_1,\ldots,h_n)\rightarrow h_1\ldots h_k$. Estos no son la norma positiva simple raíces $h_i/h_{i+1}$, pero obviamente son mutuamente expresable.
En algo más de detalle: tal vez es mejor usar $SU(n)$, en lugar de $U(n)$, por lo que el grupo y el álgebra son semi-simple, en lugar de simplemente reductora, por lo que algunas de las terminologías son completamente correctos, etc.
En primer lugar, irreductibilidad puede ser demostrado por el mayor peso de los criterios: no hay un único vector en $\bigwedge^\ell \mathbb C$, es decir, hasta escalares, $e_1\wedge\ldots\wedge e_\ell$, aniquilado por el estándar unipotentes radical, la parte superior triangular de las matrices (en la Mentira de álgebra). Esto no es instantáneo, sino que es capaz de hacer-ejercicio.
Segundo, entonces, que el vector tiene la obvia, que se espera autovalor: diagonal $h_1,\ldots,h_n$ en el grupo actúa por $h_1\ldots h_\ell$. [Edit: anteriormente, el $\ell$ fue errónea, superíndice...]
