¿Cuál es la probabilidad de que un elegido al azar de cuatro dígitos entero tiene distintos dígitos?
el primer dígito no puede ser 0, por lo que estaría entre los 9 números. el segundo dígito puede ser 0, por lo que estaría entre los 9 números. tercera que puede ser cualquiera de los dos últimos de modo que entre los 8 números. el cuarto sería entre 7.
9*9*8*7/9000 = 0.504
Obtengo el mismo resultado:
Los conjuntos de dígitos son $$ D_+ = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \} \\ D = D+ \cup \{ 0 \} \\ $$ Los cuatro dígitos enteros sin repetición está representado por una palabra $$ w = d_1 d_2 d_3 d_4 \en L_1 $$ con \begin{align} d_1 &\in D_+ \\ d_2 &\in D \setminus d_1 \\ d_3 &\in D \setminus \{ d_1, d_2 \} \\ d_4 &\in D \setminus \{ d_1, d_2, d_3 \} \end{align} Así, obtenemos $$ \lvert L_1 \rvert = 9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536 $$ Todos los posibles cuatro dígitos palabras están representados cada uno por una palabra $$ w = d_1 d_2 d_3 d_4 \en L_2 $$ con \begin{align} d_1 &\in D_+ \\ d_2, d_3, d_4 &\in D \end{align} Así, obtenemos $$ \lvert L_2 \rvert = 9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9000 $$ lo que da $$ p = 4536 / 9000 = 0.504 $$
Una forma ligeramente diferente de hacer es contar todos los números de cuatro dígitos distintos (incluidos los números empezando por cero) y la resta de los números no válidos, que son un $10\%$ de este total, que es $$V=10\cdot 9\cdot 8\cdot 7-(10\cdot9\cdot 8\cdot 7)/10=9\cdot9\cdot8\cdot 7$$
Entonces, si llamamos a al suceso para obtener un número de cuatro dígitos con todos los dígitos distintos $A$ (suponiendo que la probabilidad de tomar un número es el mismo para todos los números) tenemos que
$$\Pr[A]=\frac{9\cdot9\cdot8\cdot 7}{10^3\cdot 9}=0.504$$
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