Intuición detrás de Riemannian-métrica

Question

Me disculpo de antemano si algo como esto se ha pedido ya y voy a eliminar esta pregunta inmediatamente si ya respondió a la pregunta de este tipo despeja mi duda, que es-

¿Qué es una métrica de Riemann? He empezado a leer 'Geometría de Riemann' principalmente en el uso de do Carmo del texto y tengo la idea de que para introducir una noción de la distancia a ser capaz de hablar acerca de la longitud de las curvas de fluidez de los colectores, los ángulos entre las curvas se introduce algo que se llama una "métrica de Riemann'. Es la definición por otro lado, parece muy poco intuitivo(Carmo la definición no implica nada tensor). Supongo que se trata de un producto interior en porque queremos medir la longitud de los vectores de tangentes (pero ¿por qué?) y qué mejor manera de medir que el uso interno de productos de...

Para poder continuar en la teoría y asegurarme de que puedo hacer sentido de las cosas, creo que es importante que entender la definición muy bien, pero después de leer una y otra vez, no estoy seguro de si me 'get'. Me encantaría si alguien me podría dar una explicación para ello.

También, si queremos dar una estructura métrica (para ser capaz de hablar acerca de todas las cosas relacionadas a distancia), entonces ¿por qué no definir una métrica (la topológico uno, la satisfacción de la positividad, la simetría, la desigualdad de triángulo) en lugar de esto?

O tal vez estoy confundido y métrica de Riemann tal y como hemos definido realidad es que el sistema métrico(topológico) y junto con él, nuestro suave colectores se convierte en un espacio métrico? Si ese es el caso, no es la teoría de la Geometría de Riemann convertido en algo fácil, como ya sabemos mucho acerca de la métrica de los espacios?(Yo en serio creo, que ese no es el caso)

Muchas gracias por leer y responder/comentar (en) mi post!!!

Answer 1

La idea es equipar el espacio de la tangente $T_p M$ a $p$ al colector $M$ con un producto interior $\langle -, - \rangle$ , de tal manera que estas interior de los productos varían suavemente como $p$ varía en $M$.

Es posible, entonces, para definir la longitud de un segmento de la curva en un $M$ y para definir la distancia entre dos puntos en $M$.

En términos de la definición de una métrica de Riemann, dado un suave $n$-dimensiones del colector, $M$, una métrica de Riemann en $M$ (o $TM$) es de la familia, $(\langle -, - \rangle_p )_{p \,\in M}$, de interior de los productos en cada espacio de la tangente, $T_p M$, de tal manera que $\langle -, - \rangle$ depende suavemente en $p$.