Área usando$\iint dxdy$

Question

Yo sé acerca de encontrar a un volumen bajo de una curva con $\iint f(x,y) dxdy$.

Pero lo $\iint dxdy$ describir? Debo considerar la posibilidad de $f = 1$? Pensé que si me necesita encontrar un área, y no el volumen no el $\text{Area} = \iint 0 dx dy$. De modo que el $z$-eje es siempre cero? Pero, por supuesto, la zona también será cero.

Estoy super confundido acerca de este concepto. Qué debo hacer para encontrar un Área en la región? No es que el volumen es algo que debemos considerar, y no sólo el área?

Answer 1

Sí, considere $f(x,y)=1$ . El volumen bajo esta curva es $1$ (la altura) multiplicado por el área de la base, por lo que el valor numérico del volumen coincide con el área: son la misma cosa.

Answer 2

Si $B$ es un subconjunto medible y limitado de $ \mathbb R^2$ , entonces el área de $B$ viene dada por

$\iint_B 1 d(x,y).$

Answer 3

Una de las maneras más comunes de pensar de una integral doble es pensar en él como el volumen bajo una superficie creada por una función de dos variables $z=f(x,y)$ y limitada por una región $R$ (normalmente de forma rectangular) en la $xy$ plano. Si la función de dos variables es $f(x,y)=1$, entonces lo que estás haciendo, básicamente, es que puedes encontrar el volumen de un sólido cuya altura es $1$ y el área de la base es el área de la región determinada $R$. El volumen de un sólido cuya altura es $1$ es numéricamente igual a su área de la base. Es por eso que

$$\iint_{R}1\,dx\,dy=area\ of\ region\ R.$$

Answer 4

Usted puede pensar de $\int \int f(x,y)dxdy$ "suma ponderada" de la región. Su $f(x,y)$ función le dice que "lo importante" de cada punto. Si su peso es $1$, entonces cada punto vale una unidad, por lo que la integral sólo "suma" de los puntos, y se obtiene el área. Si $f(x,y)$ es la altura, entonces la integral es la suma de todas esas alturas, para obtener el volumen.

En el cálculo, hay una distinción entre las cosas que son infinitesimalmente pequeño, frente a las cosas que son cero. La altura no es cero, es un infinitesimal. Así que en lugar de tomar $\int \int 0dxdy$, debemos tomar las $\int \int dxdydz$. Este es entonces el volumen de la región. Podemos factor de la $dz$ y consideran que se trata de $(\int \int dxdy)dz$. La cantidad dentro del paréntesis es la zona; si se les calcular el volumen de una región, podemos calcular integrando a lo largo de la $z$-eje y encontrar el área de cada sección transversal, es decir, $dV =Adz$.

Tenga en cuenta que cuando se calcula el tamaño de un geométricas cantidad, nada de una dimensión más grande será "infinitamente" grande, mientras que nada de una dimensión menor será "infinitamente pequeños". Por ejemplo, si usted está calculando áreas, entonces cualquier volumen infinito de la zona (es la suma de una infinidad de áreas apiladas una encima de la otra), y cualquier segmento de línea se han infinitesimal de área. Necesitamos distinguir entre un segmento de la línea de no tener ninguna zona, frente a un segmento de la línea de no tener ninguna medida en absoluto. Cuando medimos un segmento de línea con cm$^2$, vamos a llegar a cero, pero cuando lo medimos con cm, obtenemos un número positivo. Y si queremos hallar el área de una región mediante la integración de un grupo de longitudes, entonces tenemos que distinguir entre estas dos medidas; cuando integramos un grupo de longitudes, estamos añadiendo un montón de longitudes de que cada uno tiene cero área en forma individual, pero en conjunto positivas para la zona.

Del mismo modo, multiplicando $dxdy$ por la altura, y el tratamiento de la altura como ser cero para obtener el área, que se está midiendo la región en tres dimensiones. Y la medición de la zona (una de dos dimensiones cantidad) en tres dimensiones de las unidades de los resultados en cero.