En un ángulo recto $\triangle ABC$ , $DE$ y $DF$ son perpendiculares a $AB$ y $BC$ respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de $DE\cdot DF>3$ ?

Question

En un ángulo recto $\triangle ABC$ , $\angle B = 90^\circ$ , $\angle C = 15^\circ$ y $|AC| = 7.\;$ Que un punto $D$ ( Punto aleatorio ) se tome en $AC$ y luego las líneas perpendiculares $DE$ y $DF$ se dibujan en $AB$ y $AC$ respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de $DE\cdot DF >3?$

Intento :

Por trigonometría, obtuve la longitud de los otros dos lados a partir de la hipotenusa $AC:$

$AB$ $\approx 1.8117$

$BC$ $\approx 6.7614$ . Y entonces, obtuve la ecuación que

$DE\cdot DF = (6.7614 - DE)\cdot AE\;$ (por la similitud de ambos $\triangle AED$ y $\triangle DFC$ )

De nuevo, desde el ángulo derecho $\triangle AED$ ,

$\dfrac{AE}{DE} = \tan 15^{\circ}\quad \implies \quad AE = DE\cdot \tan 15^\circ$

Aquí, me quedé atascado. No pude encontrar una salida para proceder y saltar esa situación. Me perdí y no pude completar ese proceso. Cualquier tipo de ayuda o pista será de gran ayuda para poder avanzar.

Answer 1

Dejemos que $DC = x , DF = o , DE = a $ y $ DA=y $ .

Tenemos :- $$ o = x \sin 15 \tag{1}$$ $$a= y \ cos 15 \tag{2} $$ Multiplicando $(1),(2)$ , obtenemos :- $$ o\cdot a = xy \sin 15 \cos 15 = \frac{xy}{2} sin 30 = \frac{xy}{4} > 3 $$ ( $\because 2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta $ )

Por lo tanto, necesitamos $xy = x(7-x) > 12$ o $x^2-7x+12<0$

Como esto es de la forma $ax^2+bx+c$ y como $a>0$ la expresión es negativa entre las raíces . Por lo tanto, debemos tener $x \in (3,4) $

$\therefore $ La probabilidad $\frac{4-3}{7} = \frac{1}{7}$

Answer 2

Aquí se puede resolver el problema con una visualización del asunto, es decir, con una visualización del segmento de línea donde $D$ debe situarse para que se cumpla la condición de área. Sea $(x,y)$ sean las coordenadas de $D$ con respecto a los ejes naturales de la figura. Como la restricción es $xy>3$ el límite lo proporciona la hipérbola de ecuación $xy=3$ . Las coordenadas (x_1,y_1) y (x_2,y_2) de los puntos de intersección $D_1$ y $D_2$ son por tanto soluciones del siguiente sistema :

$$\begin{cases}\frac{x}{s}&+&\frac{y}{s}&=&7\\ &xy&&=&3\end{cases} \ \ \ \text{where} \ s:=\sin(15°) \ \text{and} \ c:=\cos(15°)$$

Hemos transformado así nuestra consulta en un problema clásico: obtendremos una ecuación cuadrática, de la que obtendremos

$$D_1=(\frac{1}{s},\frac{3}{4c}) \ \text{and} \ D_2=(\frac{3}{4s},\frac{1}{c})$$

dando la longitud $D_1D_2=1$ . La respuesta final es $D_1D_2/AC=1/7$ : volvemos a encontrar el mismo resultado que @Rahuboy.

Answer 3

SUGERENCIA:

En el segmento de longitud $7,$ estamos interesados en las posiciones de un punto $D$ tal que el área del rectángulo $DEBF$ es $$\mathcal{A}_{DEBF}>3.$$

Las longitudes de los lados de $\triangle ABC$ son $$|AB|=7\cdot \sin 15^\circ,\; |BC|=7\cdot \cos 15^\circ.\tag 1$$ Establecer $\;t=|AD|.$ Por similitud de triángulos $\triangle ABC \sim \triangle AED$ obtenemos $${|AE|={t\cdot |AB|\over 7}}, \quad |ED|={t\cdot {|BC|}\over 7}.$$ Entonces $$\mathcal{A}_{DEBF}=|EB|\cdot |ED|=\frac{|AB|\cdot (7-t)}{7}\cdot \frac{|BC|\cdot t}{7}.$$ Con el uso de $(1)$ obtenemos $$\mathcal{A}_{DEBF}=\frac{t(7-t)}{4}$$ que queremos que sea mayor que $3.$ Esto pide que se resuelva $$-t^2+7t-12>0,$$ así que $t\in(3,4).$ La longitud del segmento correspondiente es $1$ (posiciones convenientes de $D$ ), la longitud de $AC$ es $7$ (todas las posiciones posibles de $D$ ).

La probabilidad es $1/7.$