Demuestre que para cualquier primo$p$ y cualquier entero$m$,$m^p + (p − 1)! m$ es divisible por$p$.

Question

Actualmente estoy trabajando en el siguiente ejercicio:

Demostrar que para todo número primo $p$ y cada entero $m$, el número de $m^p + (p − 1)! m$ es divisible por $p$.

Lo que estoy haciendo es la siguiente:

$$m(m^{p-1}+(p-1)!)\equiv 0\mod p$$ $$m((1)+(-1))\equiv 0\mod p$$ $$m(0)\equiv 0 \mod p$$ $$0 \equiv 0 \mod p.$$

Es una prueba válida? Me estoy perdiendo algo? Cualquier sugerencia o ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Demostrar que para todo número primo $p$ y cada entero $m$, el número de $mp+(p−1)!m$ es divisible por $p$.

Esto puede ser probado a través de dos teoremas: Fermat Poco y Teorema de Wilson del Teorema.

$\,m^p+(p-1)!m \;=\; m^p-m+(p-1)!m+m \;=\; m^p-m+m((p-1)!+1)$

Por Fermat poco teorema, $\,m^p-m\,$ es un múltiplo entero de $p$, desde el $p$ es primo.

Por Wilson del Teorema, $\, (p-1)!+1\,$ es un múltiplo entero de $\,p\,$, desde el $\,p\,$ es primo.

Así, para algunas $\, k,\,l \in \mathbb{Z}\text{,}\,$ hemos $$m^p-m+m((p-1)!+1) \;=\; kp + m(lp) \;=\; p(k+ml)\text{.}$$

Por lo tanto $\,m^p+(p−1)!m\,$ es divisible por $p$.

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Creo que el error en la prueba de vino de suponiendo que $\,m^{p-1}\equiv1\,(\text{mod}\; p)\text{.}\,$ Esto es cierto sólo si asumimos $m$ no es divisible por $p$.

Answer 2

Deje que $p$ sea un número primo y $m$ un entero.

¡Por el pequeño teorema de Fermat, $m^p \equiv m \pmod p$ , y por el teorema de Wilson $ (p-1)! \ equiv -1 -1 pmp p $ .

Por lo tanto, $ m^p + (p-1)!m \equiv m+(-1) \times m \equiv m-m \equiv 0 \pmod p$ ,

entonces $p$ divide $m^p+(p-1)!m.$