Integré $\int_0^1 \sqrt{x-x^2} dx$ después de un $u$ -sustitución y sustitución trigonométrica, pero no estoy seguro de qué hacer con los límites

Question

Estoy un poco perdido en cuanto a la técnica de este problema y me vendría bien alguna idea. ¿Cuándo hay que cambiar los límites?

$$\int_0^1 \sqrt{x-x^2} dx$$

completando el cuadrado me da:

$$\int \sqrt{-x^2 +x - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} } dx$$

$$\int \sqrt{-(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}} dx$$

$$ \int \sqrt{-u^2 + \frac{1}{4}} du$$

$$\int \sqrt{\frac{1}{4} - u^2} du$$ '

¿Es el submarino de trigonometría el mejor camino a seguir?

si $u = \frac{1}{2} \sin \theta$ entonces $du = \frac{1}{2} \cos \theta d \theta$

$$ = \int \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \sin^2\theta} \frac{1}{2} cos \theta d \theta$$

$$ \int \frac{1}{2} cos \theta \frac{1}{2} cos \theta d \theta$$

$$\frac{1}{4} \int cos^2 \theta d \theta$$

usando la identidad de medio ángulo que eventualmente obtengo:

$$ \frac{1}{4} \int \frac{1}{2} ( 1 + cos(2 \theta)) d \theta$$

$$\frac{1}{8} \int (1 + cos(2 \theta) d \theta$$

$$ \frac{1}{8} ( \theta + \frac{1}{2} sin 2 \theta)$$

¿A dónde voy a partir de aquí? Estoy un poco perdido en cuanto a qué hacer con la sub u y cómo volver a x desde aquí.

Answer 1

Yo recomendaría cambiar los límites cada vez que sustituyamos. Aquí, eso lleva a $$\int_{-1/2}^{1/2}\sqrt{\frac14-u^2}\,du$$ ( $u=x-\frac12$ corre de $0-\frac12$ a $1-\frac12$ ) $$\frac14\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2\theta d\theta$$ ( $u=\frac12\sin\theta$ Así que, como $\sin\theta$ corre de $-1$ a $1$ , $\theta$ corre de $-\frac{\pi}{2}$ a $\frac{\pi}{2}$ ) $$\left[\frac18\left(\theta+\frac12\sin(2\theta)\right)\right]_{\theta=-\pi/2}^{\theta=\pi/2} = \left(\frac{\pi}{16}+0\right)-\left(-\frac{\pi}{16}+0\right) = \frac{\pi}{8}$$ Si lo haces así, no hay necesidad de volver atrás, simplemente evaluamos la integral allí mismo.

Las integrales definidas tienen más herramientas que las indefinidas. Incluso en el nivel de cálculo básico en el que te encuentras, la simetría aparece a menudo -- la integral de una función impar de $-a$ a $a$ es cero, por ejemplo. Si convertimos un problema de integral definida en un problema de integral indefinida y sólo lo volvemos a convertir al final, perdemos el acceso a esas herramientas. Por lo tanto, tiene sentido llevar siempre los límites y convertirlos cuando se sustituye en un problema de integral indefinida.

¿Es el submarino de trigonometría el mejor camino a seguir?

No, lo mejor es no calcular ninguna antiderivada. Una vez que llegues a esa primera línea que escribí (el mismo punto en el que estabas al escribir esta línea, más los límites), reconoce que es el área de un semicírculo de radio $\frac12$ . A partir de esto, concluimos inmediatamente el resultado $\frac12\pi\left(\frac12\right)^2=\frac{\pi}{8}$ .

Por supuesto, esto no es algo que podamos hacer con una integral indefinida.

Answer 2

Sólo para que lo sepas, esto se puede manejar con el Beta y por extensión el Gamma Función.

Aquí tienes:

\begin{align} I &= \int_0^1 \sqrt{x - x^2}\:dx = \int_0^1 \sqrt{x\left(1 - x\right)}\:dx = \int_0^1 x^{\frac{1}{2}}\left(1 - x\right)^{\frac{1}{2}}\:dx\\& = B\left(\frac{1}{2} + 1, \frac{1}{2} + 1 \right)= B\left(\frac{3}{2} , \frac{3}{2} \right) \end{align}

Utilizando el relación entre la función beta y la función gamma, esto se convierte en

\begin{equation} I = B\left(\frac{3}{2} , \frac{3}{2} \right) = \frac{\Gamma\left(\frac{3}{2} \right)\cdot \Gamma\left(\frac{3}{2} \right)}{\Gamma\left(\frac{3}{2} + \frac{3}{2} \right)} = \frac{\Gamma\left(\frac{3}{2} \right)^2}{\Gamma\left(3\right)} = \frac{\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2} \right)^2}{2} = \frac{\pi}{8} \end{equation}