Multiplicación de matrices en los colectores riemannianos

Question

Estoy teniendo un tiempo difícil entender el concepto de matriz (o vector) multiplicación por un Colector de Riemann $(M, g)$.

En $\mathbb R^n $ podemos multiplicar una matriz por un vector de la forma habitual. ¿Cómo se traduce eso en $M$? El ingenuo manera sería simplemente hacer la multiplicación en el local de coordenadas, pero esto ignora por completo la métrica, la cual parece mal.

Es la multiplicación de la matriz de algo que vive en la $T_vM$? Intuitivamente sí, pero ¿por qué?

Answer 1

Para un general de Riemann Colector $(M,g)$ no está claro cuál es su pregunta significa. No hay una forma canónica para dejar una matriz de actuar sobre un elemento del colector $M$ sí. Por otro lado, si fijamos un punto de $p\in M$, a continuación, $T_pM$ es un espacio vectorial de (digamos) dimensión $n$. En este caso, si $A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ podemos actuar sobre los elementos de la $T_pM$ proporcionando una base y utilizando a la izquierda de la multiplicación. Adoptar un sistema de coordenadas $(U,x^1,\ldots, x^n)$ cerca de $p$. Hay asociado un campo vectorial $(\partial_1,\ldots, \partial_n)$ a $U$, por lo que $(\partial_1|_p,\ldots,\partial_n|_p)$ forma una base en $T_pM$. Si podemos identificar los vectores en $T_pM$ con matrices de números reales en base a esto, se $A$ hechos por multiplicación.