Demostrar que $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos (\theta) e^{\theta y}}{2 \cosh(\pi y/2)} y dy=\tan (\theta)$ .

Question

No soy un matemático empedernido. He agotado todos los trucos de integración que aprendí en el cálculo, incluyendo el cambio de variables, la integración por partes. Ese cosh en el denominador estorba mucho. Como se debe plantear una integral como esta.

Answer 1

Cómo se debe abordar una integral como ésta.

Hay muchas maneras, pero tratar de encontrar una antiderivada no es una de ellas.

Necesitamos $|\theta| < \frac{\pi}{2}$ para que la integral converja, de modo que la $\cosh$ en el denominador será lo suficientemente grande como para abrumar al $e^{\theta y}$ en el numerador.

Primer pensamiento: análisis complejo. Cerremos el bucle alrededor de algún trozo grande del plano complejo, tratémoslo como una integral de contorno y apliquemos el teorema del residuo. Mirando nuestra función, en la dirección imaginaria, $\cosh\left(\frac{\pi}{2}y\right)$ y $e^{\theta y}$ son ambas periódicas. Eso sugiere que utilicemos un rectángulo que no sea demasiado alto. Desde $\cosh(t+i\pi) = -\cosh t$ integramos alrededor de un rectángulo con altura $2$ . Los segmentos verticales en $\pm R$ se reduce a cero a medida que $R\to\infty$ y $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos\theta\cdot e^{\theta y}}{2\cosh\frac{\pi y}{2}}\cdot y\,dy - \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos\theta\cdot e^{\theta (y+2i)}}{2\cosh\frac{\pi (y+2i)}{2}}\cdot (y+2i)\,dy = 2\pi i\text{Res}_{z=i}(f)=2\pi i\frac{i\cos\theta e^{i\theta}}{\pi\sinh\frac{\pi i}{2}}$$ $$I(\theta) + e^{2i\theta}I(\theta) +2i\cos\theta e^{2i\theta}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{\theta y}}{2\cosh\frac{\pi y}{2}}\,dy = 2i\cos\theta e^{i\theta}$$ $$2\cos(\theta)I(\theta) = 2i\cos\theta\left(1-e^{i\theta}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{\theta y}}{2\cosh\frac{\pi y}{2}}\,dy\right)$$ Ahora, necesitamos evaluar esa integral con un $\cosh$ en el denominador pero sin multiplicar por $y$ . ¿Cómo? Sólo hay que volver a hacer lo mismo: integrar alrededor del mismo contorno rectangular. $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{\theta y}}{2\cosh\frac{\pi y}{2}}\,dy - \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{\theta (y+2i)}}{2\cosh\frac{\pi (y+2i)}{2}}\,dy = 2\pi i\text{Res}_{z=i}(g) = 2\pi i\frac{e^{i\theta}}{\pi i}$$ $$\left(1+e^{2i\theta}\right)\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{\theta y}}{2\cosh\frac{\pi y}{2}}\,dy = 2e^{i\theta}$$ $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{\theta y}}{2\cosh\frac{\pi y}{2}}\,dy = \frac1{\cos\theta}$$ Sustituyendo eso, $$I(\theta) = i\left(1-e^{i\theta}\cdot\frac1{\cos\theta}\right) = i\left(1-\frac{\cos\theta+i\sin\theta}{\cos\theta}\right)=\tan\theta$$ Hecho.

Vale, he hecho un montón de cosas sin explicarlas realmente. Vamos a repasarlas. Primero, el teorema del residuo es una herramienta de cálculo enormemente útil del análisis complejo, que nos permite calcular los valores exactos de muchas integrales sin encontrar antiderivadas. He enlazado una parte del artículo con un ejemplo de dicho cálculo.

En este caso, utilizamos un contorno rectangular con puntos extremos en $-R,R,R+2i,-R+2i$ y luego dejar que $R\to\infty$ . En los segmentos verticales de $R$ a $R+2i$ y $-R+2i$ a $-R$ la función que estamos integrando es comparable a $\frac{Re^{\pm R\theta}}{e^{R\theta}}$ que decae exponencialmente. En el límite, esos segmentos verticales no afectan a la integral. En los segmentos horizontales, atravesamos el límite en sentido contrario a las agujas del reloj, por lo que el segmento de $-R$ a $R$ se recorre "hacia delante" con un $+$ y el segmento de $-R+2i$ a $R+2i$ se recorre "hacia atrás" con un $-$ signo.

Luego, calculamos los residuos en los polos de la función que estamos integrando. La única forma de obtener un polo aquí es para ese denominador $\cosh (\pi y/2) = \cos(i\pi y/2)$ sea cero - lo cual, dentro de nuestro contorno, ocurre exactamente en un punto $y=i$ . El atajo de cálculo que utilicé para el residuo: evaluar las otras partes en ese punto, dividir por la derivada del término en el denominador que va a cero.

Además, nombré la integral que queríamos encontrar $I(\theta)$ . Esto es sólo una conveniencia notacional, pero es una definición que necesita ser escrita en algún lugar.

Es probable que haya otros enfoques que funcionen. Si alguien quiere probarlos, adelante.

Answer 2

Obsérvese que la integral converge si $\operatorname{Re}(\theta) \in (-\pi/2,\pi/2)$ . Se puede utilizar la diferenciación bajo el signo integral y la sustitución $\mathrm{e}^{y} = x$ para conseguir $$\begin{align} \int \limits_{-\infty}^\infty \frac{\cos(\theta) \mathrm{e}^{\theta y}y}{2 \cosh(\pi y/2)} \, \mathrm{d} y &= \cos(\theta) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta} \int \limits_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm{e}^{\theta y}}{2 \cosh(\pi y/2)} \, \mathrm{d} y = \cos(\theta) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta} \int \limits_0^\infty \frac{x^{\theta - 1}}{x^{\pi/2} + x^{-\pi/2}} \, \mathrm{d} x \\ &= \cos(\theta) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta} \int \limits_0^\infty \frac{x^{\frac{\pi}{2} + \theta - 1}}{1 + x^{\pi}} \, \mathrm{d} x \, . \end{align}$$ Ya se ha calculado una forma más general de la integral final aquí . Si introduces los parámetros de tu integral, deberías llegar al resultado deseado.

Answer 3

Este es un método real.

Dejemos que $$I = \int_{-\infty}^\infty \frac{\cos \theta \, e^{\theta y} \, y}{2 \cosh \left (\frac{\pi y}{2} \right )} \, dy,$$ donde $\theta \in (-\pi/2, \pi/2)$ .

Ahora $$I = \frac{\cos \theta}{2} \int_{-\infty}^0 \frac{y e^{\theta y}}{\cosh \left (\frac{\pi y}{2} \right )} \, dy + \frac{\cos \theta}{2} \int_0^\infty \frac{y e^{\theta y}}{\cosh \left (\frac{\pi y}{2} \right )} \, dy = I_1 + I_2.$$ En la primera de las integrales, haciendo una sustitución de $y \mapsto -y$ da $$\begin{align} I_1 &= -\frac{\cos \theta}{2} \int_0^\infty \frac{y e^{-\theta y}}{\cosh \left (\frac{\pi y}{2} \right )} \, dy\\ &= -\cos \theta \int_0^\infty \frac{y e^{-\theta y}}{e^{\frac{\pi y}{2}} + e^{-\frac{\pi y}{2}}} \, dy \tag1\\ &= -\cos \theta \int_0^\infty \frac{y e^{-\theta y - \pi y/2}}{1 + e^{-\pi y}} \, dy\\ &= -\cos \theta \sum_{n = 0}^\infty (-1)^n \int_0^\infty y e^{-(n \pi + \pi/2 + \theta)} \, dy \tag2\\ &= -\cos \theta \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(n \pi + \pi/2 + \theta)^2} \tag3\\ &= -\frac{\cos \theta}{\pi^2} \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(n + \frac{1}{2} + \frac{\theta}{\pi})^2}\\ &= -\frac{\cos \theta}{\pi^2} \sum_{\substack{n = 0\\n \in \text{even}}}^\infty \frac{1}{\left (n + \frac{1}{2} + \frac{\theta}{\pi} \right )^2} - \frac{\cos \theta}{\pi^2} \sum_{\substack{n = 0\\n \in \text{odd}}}^\infty \frac{1}{\left (n + \frac{1}{2} + \frac{\theta}{\pi} \right )^2}\\ &= -\frac{\cos \theta}{4 \pi^2} \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{\left (n + \frac{1}{4} + \frac{\theta}{2 \pi} \right )^2} - \frac{\cos \theta}{4 \pi^2} \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{\left (n + \frac{3}{4} + \frac{\theta}{2 \pi} \right )^2} \tag4\\ &= -\frac{\cos \theta}{4 \pi^2} \left [\psi^{(1)} \left (\frac{\theta}{2 \pi} + \frac{1}{4} \right ) - \psi^{(1)} \left (\frac{\theta}{2 \pi} + \frac{3}{4} \right ) \right ] \tag5 \end{align}$$

De manera similar, para la segunda de las integrales se puede demostrar que $$I_2 = \frac{\cos \theta}{4 \pi^2} \left [\psi^{(1)} \left (\frac{1}{4} - \frac{\theta}{2 \pi} \right ) - \psi^{(1)} \left (\frac{3}{4} - \frac{\theta}{2 \pi} \right ) \right ].$$ Así, $$\begin{align} I &= -\frac{\cos \theta}{4 \pi^2} \left [\psi^{(1)} \left [1 - \left (\frac{3}{4} - \frac{\theta}{2 \pi} \right ) \right ] + \psi^{(1)} \left (\frac{3}{4} - \frac{\theta}{2 \pi} \right ) \right ]\\ & \qquad \quad + \frac{\cos \theta}{4 \pi^2} \left [\psi^{(1)} \left [1 - \left (\frac{1}{4} - \frac{\theta}{2 \pi} \right ) \right ] + \psi^{(1)} \left (\frac{1}{4} - \frac{\theta}{2 \pi} \right ) \right ]\\ &= -\frac{\cos \theta}{4 \pi^2} \left [\pi^2 \operatorname{cosec}^2 \left (\frac{3 \pi}{4} - \frac{\theta}{2} \right ) - \pi^2 \operatorname{cosec}^2 \left (\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2} \right ) \right ] \tag6\\ &= -\frac{\cos \theta}{4} \left (\frac{2}{\sin \theta + 1} + \frac{2}{\sin \theta - 1} \right )\\ &= -\frac{\cos \theta}{4} \cdot -\frac{4 \sin \theta}{\cos^2 \theta}, \end{align}$$ o finalmente $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos \theta \, e^{\theta y} \, y}{2 \cosh \left (\frac{\pi y}{2} \right )} \, dy = \tan \theta,$$ según sea necesario.

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Explicación

(1) Utilizando $\cosh x = (e^x + e^{-x})/2$ .

(2) Expansión geométrica.

(3) Integración por partes dos veces.

(4) Desplazamiento de los índices. Aquí $n \mapsto 2n$ para $n$ incluso y $n \mapsto 2n + 1$ para $n$ impar.

(5) Utilizando el representación de la serie para la función poligama.

(6) Utilizando el relación de reflexión para la función trigamma.