Definición de un complejo simplicial geométrico

Question

Para $a_0,...,a_k$ puntos afínmente independientes en $\mathbb{R}^N$ para $N\ge k$ definimos un $k$-simplejo $\sigma$ como $\sigma=\{\sum_{i=1}^kt_ia_i|t_0+...+t_k=1, t_i\ge 0\}$. Un complejo simplicial $K$ es entonces una colección finita de símplices en algún $\mathbb{R}^n$ tal que a) $K$ contiene todas las caras de un símplice $\sigma\in K$ y b) la intersección de dos símplices es una cara de cada uno de ellos.

Tengo dos preguntas:

1) ¿Por qué necesitamos la condición a)? Lo que me confunde es que, en particular tomando la realización geométrica, no se puede distinguir por ejemplo entre el símplice estándar y la unión de todas sus caras. ¿Hay alguna razón histórica para este formalismo?

2) ¿Qué pasaría si definiéramos $\sigma=\{\sum_{i=1}^kt_ia_i|t_0+...t_k=1, t_i > 0\}$, un analógico algo abierto de la definición anterior, y tomáramos complejos simpliciales de símplices abiertos? Esto me parece más natural considerando la realización geométrica (no tomamos conjuntos de puntos dos veces), y la noción de interior y cierre de un símplice es mucho más natural. Sin embargo, este enfoque parece ser bastante raro en la literatura. ¿Hay alguna buena razón para considerar símplices cerrados y ambas teorías coinciden?

Answer 1

El punto de un complejo simplicial es crear una estructura combinatoria que se pueda analizar en lugar de un espacio geométrico. Si se descompone $K$ en $K^0, K^1, \dots, K^N$ con cada $K^k$ contiene todos los $k$-simplejos de $K$, entonces sabiendo solo el mapa $\partial:K^{k+1}\to \mathcal{P}(K^{k})$ que lleva un símplice a sus caras de borde permite construir una realización geométrica. No es necesario conocer nada acerca de los simples en sí mismos, solo cómo están "pegados" entre sí. (Nota: $K$ y los $K^k$'s contienen los simples como elementos y no como subconjuntos.)

Entonces para (a), una parte es que sin esta condición no se puede construir de manera confiable una realización geométrica solo con los datos dados por $\partial$, y otro es que incluso si fuera confiable para un $K$ particular, siempre se puede reemplazar por el máximo único $K$ que contiene todas las caras de borde ("mientras puedas, debes" no es raro en definiciones matemáticas). En la práctica, se puede describir un complejo simplicial con menos información de la requerida por la definición completa.

Para tu segunda pregunta, es natural utilizar simples cerrados de la forma en que se utilizan los espacios cociente para construir realizaciones geométricas. La manera en que las fronteras coinciden da la identificación particular. Sin embargo, es cierto que para esta definición particular de complejo simplicial (como un subespacio real de $\mathbb{R}^N$) se pueden utilizar simples abiertos --- pero se debe incluir algo como que el cierre del esqueleto $(k+1)$ está dentro del esqueleto $k$, similar a la definición de una descomposición CW de un espacio.

Answer 2

Buena pregunta! En términos del conjunto/forma real en $\mathbb{R}^n$, no hay diferencia, como dices. Y podrías hacer la cosa del "simplejo abierto", incluyendo todos los límites como simplejos abiertos de menor dimensión, para deshacerte de repeticiones, sin cambiar la unión de todos ellos. Pero permíteme argumentar a favor de la definición del libro de texto.

No sé mucho sobre este tema, pero una razón clara para (a) y (b) desde mi punto de vista es la correspondencia entre hechos sobre la realización geométrica del complejo simplicial y hechos sobre el objeto combinatorio $\mathcal{K}$. Hay muchas propiedades topológicas de la realización geométrica $|\mathcal K|$ que se pueden calcular o verificar simplemente conociendo el conjunto $\mathcal K$ junto con la estructura de subconjuntos/intersecciones, olvidando que cada elemento tuvo una vez geometría. Un ejemplo notable: la homología simplicial parece muy simple en comparación con otras teorías de homología (por ejemplo, homología singular), y coincide con las demás. Eso es bastante asombroso, y también ayuda mucho a construir intuición en el mundo inestable de la topología cuando puedes tomar algún objeto geométrico razonable del que quieras aprender, reducirlo a un objeto combinatorio aparentemente mucho más simple, y hacer cálculos allí (estos tipos de historias son algunas de mis partes favoritas de las matemáticas). Estas correspondencias dependen de estos dos axiomas (a) y (b) en el lado combinatorio de la historia. Son los datos que necesitas mantener para poder estudiar la topología (homología, en particular) de $|\mathcal K|$ combinatoriamente.

Answer 3

Voy a dar una respuesta a ambas preguntas usando algunos conocimientos de topología algebraica, porque siento que es ahí donde el verdadero poder de los complejos simpliciales y sus diversas propiedades entran en juego.

Para la primera pregunta haría la siguiente contra-pregunta, ¿por qué querrías distinguir entre el símplex estándar y la unión de todas sus caras? Tomemos esta analogía, considera cualquier conjunto $X$, entonces $X$ es una unión de todos los puntos en $X$, ¿queremos distinguir entre $\bigcup_{p \in X} \{p\}$ y $X$?

De hecho, al aprender sobre símplices, encontré que el hecho de que un símplex fuera la unión de todas sus caras era realmente útil e intuitivo, esto es particularmente agradable porque si nos dan un complejo simplicial $k$-dimensional $B$ podemos ver su $n$-esqueleto que es intuitivamente la colección de símplices de dimensiones menores o iguales a $n$ que están dentro de $B$.

El $k$-esqueleto del complejo simplicial $n$-dimensional $K$ resulta ser simplemente el mismo complejo simplicial $K$ lo cual es agradable pero también útil $(*)$. Usando la homología simplicial, los esqueletos de un complejo simplicial en realidad nos brindan una tonelada de información sobre el espacio topológico (la realización geométrica del complejo simplicial) con el que estamos trabajando.

Así que déjame dar un ejemplo rápido para mostrar por qué $(*)$ es útil. Digamos que tenemos un espacio topológico $X$, con una triangulación de un complejo simplicial $K$ de dimensión $n$ y otro espacio topológico $Y$ con una triangulación de un complejo simplicial $L$ de dimensión $m$. Supongamos que $m < n$, entonces $H_{m+1}(Y) = 0$ pero puede ser el caso que $H_{m+1}(X) \neq 0$ y si ese es el caso entonces, dado que los grupos de homología de un espacio topológico constituyen un invariante del espacio topológico, debido a que los grupos de homología de estos dos espacios topológicos no son isomorfos, los dos espacios topológicos $X$ y $Y$ no son homeomorfos.

Si hubiéramos hecho la distinción que mencionaste, esto no sería necesariamente el caso, la razón siendo que el $m$-esqueleto de $L$ no sería el mismo que $L$ y entonces la realización geométrica del $m$-esqueleto (que es $|L|$ en realidad) no necesariamente sería homeomorfa a $Y$, y luego tal vez no obtendríamos $H_{m+1}(L) \cong H_{m+1}(|L|) = H_{m+1}(Y)$ y entonces no podríamos concluir que $H_{m+1}(Y) = 0$ lo cual básicamente elimina un resultado muy interesante de la homología simplicial.

Para la segunda pregunta de entrada creo que lo primero que perderíamos sería la compacidad de los símplices. Usando la definición convencional, todas las superficies compactas conectadas, como el toro $\mathbb{T}$, el plano proyectivo real $\mathbb{RP}^2$, la esfera $2$-dimensional $\mathbb{S}^2$, son complejos simpliciales lo que significa vagamente que pueden ser construidos a partir de símplices. Sin embargo, usando tu definición propuesta puede que no sea el caso de que estos espacios topológicos tan importantes terminen siendo complejos simpliciales.

Esto es un gran problema porque la maquinaria de la homología simplicial fue esencialmente desarrollada para calcular la homología de complejos simpliciales y realmente ayudarnos a determinar cuáles de estos espacios son diferentes entre sí (es decir, para decir cuáles de estos espacios no son homeomorfos entre sí).

Answer 4

1) Las condiciones a) y b) son una especie de definición del complejo simplicial. Si las eliminas, tendrás de nuevo una colección de símplices. Esto puede ser útil, pero no necesitas definir un complejo simplicial cuando necesitas un conjunto de símplices.

2) Eso está relacionado con la pregunta de por qué definimos un complejo simplicial en lugar de simplemente usar un conjunto de símplices (posiblemente abiertos).

Un ejemplo del uso de complejos simpliciales es el Cálculo Exterior Discreto. El CED utiliza un complejo simplicial junto con formas diferenciales para definir operadores diferenciales discretos. En el CED, la diferencial está definida usando el teorema de Stokes: $\int_\Omega \text{d}\omega = \int_{\partial\Omega} \omega$.

Y cuando $\Omega$ es un subconjunto del esqueleto $K_2$ (es decir, el conjunto de 2-símplices) de tu complejo, entonces $\partial \Omega$ es un subconjunto del esqueleto $K_1$. Según la definición del complejo usando a) y b), el operador de frontera discreto $\partial$ para un conjunto de triángulos y aristas es simplemente la matriz de adyacencia entre triángulos y aristas en el complejo.

Al eliminar a), no tendrías las fronteras en tu complejo en absoluto y al eliminar b), tendrías un conjunto abierto para cada triángulo, lo cual por definición no incluye la frontera.

En resumen: Un complejo simplicial es una definición útil para diferentes aplicaciones. Puedes querer utilizar otra definición para tu aplicación, pero entonces usar el nombre complejo simplicial puede resultar confuso.