Deje que$G$ sea un grupo con el pedido$p^n$; ¿Existe entonces una secuencia de subgrupos normales?

Question

Me gustaría mostrar la siguiente declaración:

Deje $p$ ser una de las primeras. Deje $G$ ser el grupo con el fin de $p^n$. Deje $H$ ser normal en $G$ con el fin de $p^k$. Luego resulte $H$ tiene subgrupos $K$ tal que $K$ tiene orden de $1,p,p^2,\ldots,p^k$ e $K$ es normal en $G.$

Yo estaba tratando de demostrar que esta por inducción en $k$. Cuando $k=0$ o $1$, esto es claro, ya que $H=\{e\}$ o $H\le Z(G)$. Supongamos que esto es cierto para $k-1$. Deje $H$ ser un subgrupo normal de $G$ con el fin de $p^k$, luego por el teorema de Sylow, $H$ tiene (de hecho lo normal) subgrupos de orden $1,p,\ldots,p^{k-1}$. Sin embargo, ¿cómo puedo demostrar que son normales en $G$?

Gracias por todas las sugerencias o ayuda!

Answer 1

Me gustaría agradecer a @ArturoMagidin por los consejos

Considere la posibilidad de $H\cap Z(G)$. Este es trivial, ya que $H$ es normal en un $p$grupo $G$. También desde $H\cap Z(G)$ es normal subgrupo en $G$, ha pedido a$p^t$ para algunos $t=1,\ldots,k-1$. Así, por medio de Cauchy del lexema (o teorema de Sylow con $m=1$), tiene un subgrupo $N$ orden $p$, e $N$ es necesariamente normal en $G$.

Mod de $G$, a continuación, $H/N$ es normal en $G/N$ por el teorema de la correspondencia.

Por lo tanto, $H/N$ es un grupo con el fin de $p^{k-1}$. Así, por inducción se tiene subgrupos $\{K_1/N,\ldots,K_{k-1}/N\}$ que son normales en $G/N$, donde $K_i/N$ tiene orden de $p^{i}$ por cada $i=1,\ldots,k-1$. Por lo tanto, por el teorema de la correspondencia de nuevo, $K_i$ normal en $G$, y el orden de $K_i$ es $p^{i+1}$, lo que completa la prueba mediante la adición de la trivial grupo para el conjunto.