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Paso 1:

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Recuperar $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\left[\frac{4372}{(2n-1)^7(n-1)}+\frac{n^2+n+4372}{(2n+1)^7(n+1)}\right]=\frac{61}{184320}\pi^7\tag1$ $

Parece que esta suma $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\left[\frac{4372}{(2n-1)^7(n-1)}+\frac{4372}{(2n+1)^7(n+1)}\right]+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\left[\frac{n^2+n}{(2n+1)^7(n+1)}\right]\tag2$ $ es un número racional

No puedo mostrar esa suma $$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\left[\frac{4372}{(2n-1)^7(n-1)}+\frac{4372}{(2n+1)^7(n+1)}\right]+\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^n\left[\frac{1}{(2n+1)^7}\right]\tag3$

Cualquier ayuda. Gracias!

Answer 1

Se trata de telescópico de la serie:

$$ \frac{(-1)^n}n\left(\frac{1}{(2 n+1)^7 (n+1)}+\frac{1}{(2 n-1)^7 (n-1)}\right) = (-1)^n\left(\frac{1}{n-1} + \frac{1}{n}\right) + (-1)^n\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}\right) - 4(-1)^n\left(\frac{1}{(2 n-1)^7}+\frac{1}{(2 n+1)^7}\right) - 4(-1)^n\left(\frac{1}{(2 n-1)^5}+\frac{1}{(2 n+1)^5}\right) - 4(-1)^n\left(\frac{1}{(2 n-1)^3}+\frac{1}{(2 n+1)^3}\right) - 4(-1)^n\left(\frac{1}{2 n-1}+\frac{1}{2 n+1}\right) $$

Cada uno de los paréntesis tiene dos términos. El segundo término de $n=n_0$ es igual al primer término de $n=n_0+1$ con el signo opuesto (procedente de la $(-1)^n$). Tan sólo el primer término de $n=2$ sobrevive.

Edit. P. S. Por cierto, no es necesario calcular parcial de fracciones, si lo que desea es mostrar la racionalidad. Podemos ver que la función es impar ($n\to -n$), por lo que no hay fracciones, incluso con exponente y todos los $(2n\pm1)^{-k}$ paréntesis tienen el mismo coeficiente. Sólo necesitamos calcular los coeficientes de $n^{-1}$, $(n+1)^{-1}$ e $(n-1)^{-1}$. Podemos hacerlo fácilmente con la multiplicación por corresponing monomio y dejando $n=-1,0,1$.

Answer 2

Deje que $a_n$ sea $$ a_n = \ frac {4372} {(2n-1) ^ 7 \ cdot n (n-1)} \. $$ Luego sumamos $(-1)^n(a_n+a_{n+1})$ .