Wikipedia define una ecuación para aproximar los grados de libertad en la prueba t de Welch y no menciona nada sobre el valor exacto. ¿Hay alguna razón por la cual no podríamos evaluar el gl exacto y tenemos que usar la aproximación? Además, dice que:
Los grados de libertad aproximados se redondean hacia abajo al entero más cercano [cita requerida]
También se agradecería una explicación de por qué deberíamos redondear hacia abajo.
Respuesta corta: No hay grados de libertad exactos porque el estimador de la varianza en esta prueba no sigue una distribución chi-cuadrado exacta.
Respuesta más larga: El test T de Welch da una solución aproximada al problema de Behrens-Fisher (comparando las medias de dos muestras con diferentes varianzas). Utiliza la estadística de prueba estandarizada:
$$T = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{S_1^2/N_1 + S_2^2/N_2}}.$$
El denominador en esta estadística de prueba es la raíz cuadrada de un estimador de la diferencia de medias:
$$\hat{\mathbb{V}}(\bar{X}_1-\bar{X}_2) = \frac{S_1^2}{N_1} + \frac{S_2^2}{N_2} \sim \frac{\chi_{N_1-1}^2}{N_1} \cdot \sigma_1^2 + \frac{\chi_{N_2-1}^2}{N_2} \cdot \sigma_2^2.$$
Esta cantidad es una suma ponderada de variables aleatorias chi-cuadrado independientes. Su distribución exacta es bastante complicada (y se representa mejor a través de su función generadora de momentos), pero no es una distribución exacta chi-cuadrado.
La prueba utiliza la aproximación de Welch-Satterthwaite, que aproxima la distribución de esta cantidad por una sola distribución chi-cuadrado escalada. En esta aproximación, la fórmula de los grados de libertad surge como la mejor aproximación de la distribución chi-cuadrado a la verdadera distribución de esta cantidad. Sin esta aproximación a la distribución chi-cuadrado no hay un solo grado de libertad exacto. En cambio, la distribución exacta es una suma ponderada de variables aleatorias chi-cuadrado con las ponderaciones y grados de libertad mencionados anteriormente.
La respuesta de @Ben es muy clara acerca de por qué no es posible una solución exacta para los grados de libertad.
En cuanto a
Los grados de libertad aproximados se redondean hacia abajo al entero más cercano [cita necesaria]
Esto parece inusual. Existe una sección en la página de discusión del artículo que cuestiona si esto es habitual o no, y por qué se redondearían hacia abajo en lugar de hacia arriba.
Esta pregunta de CV discute la manera de reportar grados de libertad no enteros con mucho más detalle, y proporciona algunas fuentes que dicen que es "convencional" (principalmente de los días en que los cálculos se hacían a mano y los valores críticos de la distribución $t$ se buscaban en tablas de referencia que daban valores solo para df enteros).
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Como nota al margen, todas las soluciones frecuentistas a este problema son aproximadas. En su lugar, puedes utilizar una solución Bayesiana exacta como en el procedimiento BEST de John Kruschke que está implementado en R.
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Se puede encontrar una discusión relevante aquí - stats.stackexchange.com/questions/124961/…