Ceros de $\sin(z)+2\sin(8z)$

Question

Es evidente que la función $f(x)=\sin z+2\sin8z$ tiene muchos ceros en la recta real. ¿Tiene alguno fuera de la línea real? He pensado en inspeccionar sus partes real e imaginaria por separado: $$f(x+iy) = (\sin x\cosh y+2\sin8x\cosh8y)+i(\cos x\sinh y+2\cos8x\sinh8y)$$ Sin embargo, no me pareció muy útil. En el caso de un solo seno tendría $$\sin(x+iy)=(\sin x\cosh y)+i(\cos x\sinh y)$$ y podría demostrar que todos los ceros están en la recta real observando que cosh es siempre positivo (como función real) por lo que debo tener $x=\pi k$ por lo que para la parte imaginaria $0=\cos \pi k\sinh y=\sinh y$ implica $y=0$ . Sin embargo, no es tan sencillo para el caso de $f(z)$ arriba. ¿Alguien puede ayudarme a resolverlo?

Answer 1

Para empezar, tenga en cuenta que su pregunta es análoga a preguntar si

$$|\sin(x+iy)+2\sin(8x+8iy)|=0$$

para algún $y$ . O $g(x,y)$ ). Por tanto, ampliemos esta función:

$$2g(x,y)=2|\sin(x+iy)+2\sin(8x+8iy)|^2$$

$$=2(\cos (x) \sinh (y)+2 \cos (8 x) \sinh (8 y))^2+2(\sin (x) \cosh (y)+2 \sin (8 x) \cosh (8 y))^2$$

$$=-4 \cos (9 x) \cosh (7 y)+4 \cos (7 x) \cosh (9 y)-\cos (2 x)-4 \cos (16 x)+\cosh (2 y)+4 \cosh (16 y).$$

Por lo tanto, si podemos demostrar que $g(x,y)$ est $0$ sólo si $y$ est $0$ entonces hemos terminado. Para ello, consideremos la derivada parcial con respecto a $y$ :

$$\frac{\partial}{\partial y}\left[-4 \cos (9 x) \cosh (7 y)+4 \cos (7 x) \cosh (9 y)-\cos (2 x)-4 \cos (16 x)+\cosh (2 y)+4 \cosh (16 y)\right] $$

$$=2 (-14 \cos (9 x) \sinh (7 y)+18 \cos (7 x) \sinh (9 y)+\sinh (2 y)+32 \sinh (16 y)).$$

En aras de la notación, llamaremos a esta función $f(x,y)$ . Ahora bien, si $y>0$ entonces

$$\frac{1}{2}f(x,y)=-14 \cos (9 x) \sinh (7 y)+18 \cos (7 x) \sinh (9 y)+\sinh (2 y)+32 \sinh (16 y)$$

$$\geq -14 \sinh (7 y)-18 \sinh (9 y)+\sinh (2 y)+32 \sinh (16 y)$$

$$>-14 \sinh (9 y)-18 \sinh (9 y)+\sinh (2 y)+32 \sinh (9 y)$$ $$=\sinh(2y)>0.$$

Ahora, tenga en cuenta que $f(x,-y)=-f(x,y)$ . Así, para $y<0$ , $f(x,y)<0$ . Juntándolo todo, tenemos una función $g(x,y)$ que tiene las siguientes propiedades:

$$g(x,y)\geq 0,$$

$$\frac{\partial}{\partial y}g(x,y)>0\text{ for } y>0,$$

$$\frac{\partial}{\partial y}g(x,y)<0\text{ for } y<0.$$

Concluimos que si $g(x,y)=0$ entonces $y=0$ .