Valores propios de una matriz cuyo cuadrado es cero

Question

Dejemos que $A$ sea un valor no nulo $3 \times 3$ matriz tal que $A^2=0$ . Entonces, ¿cuál es el número de valores propios no nulos de la matriz? No consigo averiguar los valores propios de la matriz anterior.

P.D.: ¿cómo cambiaría la respuesta si se diera que $A^3=0$ ?

Answer 1

Una matriz cuadrada $A$ se llama nilpotente si hay un $p \in \mathbb{N}$ tal que $A^p=0$ . Así que dejemos $A$ sea una matriz nilpotente. Entonces tenemos por definición de un valor propio

$$Av=\lambda v,$$

donde $\lambda$ es un valor propio de $A$ y $v\neq 0$ es un vector propio de $A$ al valor propio correspondiente. Como $A$ es nilpotente también tenemos

$$0=A^p v=\lambda^p v$$

y porque $v \neq 0$ lo siguiente $\lambda^p=0$ es decir. $\lambda=0$ . Así que a su pregunta: El número de valores propios no nulos es en este caso $0$ .

Answer 2

Claramente, como el polinomio característico de la matriz $A$ es $x^n = 0$ y los valores propios son raíces de la polinomio característico no puede haber ningún valor propio distinto de cero.

Answer 3

Otro enfoque es este:

Desde $A^2 = 0$ el polinomio $g(x) = x^2$ aniquila a A (y esto significa que el operador lineal definido por $g(T)$ es el operador nulo). Sin embargo, el polinomio mínimo de A debe dividir a todo polinomio que aniquile $A$ Así que si $m(x)$ es dicho polinomio, $m$ debe dividir $g$ .

Por lo tanto, $m(x) = x^2$ porque $A != 0$ .

Así, el polinomio característico de $A$ es $p(x) = x^3$ porque $p(x)$ tiene las mismas raíces de $m(x)$ (¿por qué?), y $p(x)$ aniquila $A$ (por el teorema de Cayley-Hamilton).

En conclusión, el polinomio característico de $A$ tiene una sola raíz, $0$ y como cada valor propio de $A$ es una raíz de su polinomio característico, tenemos que 0 es el único valor propio de $A$ .