¿Puede cualquier grupo finito de orden $n$ integrarse en $SL_n(\mathbb{Z})$ ?

Question

Si $G$ es un grupo finito de orden $n$ puede incrustarse en $S_n$ por el teorema de Cayley y, por tanto, en $GL_n(\mathbb{Z})$ et $SL_{n+1}(\mathbb{Z})$ . Puede $G$ integrarse en $SL_n(\mathbb{Z})$ ?

Answer 1

He encontrado la respuesta a mi pregunta, así que pensé que debía compartirla.

La idea principal es que una vez que podamos incrustar $S_n$ en $GL_{n-1}(\mathbb{Z})$ es fácil crear un morfismo inyectivo a partir de $GL_{n-1}(\mathbb{Z})$ en $SL_n(\mathbb{Z})$ utilizando el coeficiente extra para cancelar el determinante.

Para incrustar $S_n$ en $GL_{n-1}(\mathbb{Z})$ consideraremos las matrices de permutación en $GL_n(\mathbb{Z})$ . En primer lugar, observamos que el vector $X \in \mathbb{R}^n$ que se compone sólo de unos es un vector propio de cualquier matriz de permutación.
Si $e_1, \dots , e_n$ es la base estándar de $\mathbb{R}^n$ , dejemos que $B$ sea la base $(X, e_2, \dots , e_n)$ en la que una matriz de permutación adoptará esta forma:

$ \begin{bmatrix} 1 & * \\ 0 & M(\sigma) \end{bmatrix} $

Dónde $\sigma$ es una permutación. Podemos comprobar entonces que M es un morfismo inyectivo de $S_n$ a $GL_{n-1}(\mathbb{Z})$

Answer 2

La respuesta es sí para $n$ impar, ya que $S_n$ incrusta en $SL_n(\mathbb Z)$ - de hecho, para $\sigma\in S_n$ deje $P_\sigma$ sea la matriz de permutación correspondiente. Dado que $\det P_\sigma=\operatorname{sgn}\sigma$ et $n$ es impar, $Q_\sigma:=(\operatorname{sgn}\sigma)\cdot P_\sigma\in SL_n(\mathbb Z)$ y $$Q_\sigma Q_\tau=(\operatorname{sgn}\sigma)(\operatorname{sgn}\tau)\cdot P_\sigma P_\tau=(\operatorname{sgn}\sigma\tau)\cdot P_{\sigma\tau}=Q_{\sigma\tau}.$$ No veo cómo se podría generalizar a incluso $n$ .