¿Por qué estos métodos$2$ dan exactamente la misma respuesta para la suma de los cuadrados?

Question

Considere la posibilidad de $n = 8$, la suma de los cuadrados de $1$ través $8$ es:

$1 \1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 + 4 \times 4 + 5 \times 5 + 6 \times 6 + 7 \times 7 + 8 \8 = 204$.

También, igual a $1 \times 8 + 3 \times 7 + 5 \times 6 + 7 \times 5 + 9 \times 4 + 11 \times 3 + 13 \times 2 + 15 \times 1 = 204$.

La segunda lógica es que voy a empezar con $1$, entonces yo el incremento por $2$ cada momento y de restar $1$ desde el segundo uno, hasta que llegue a $1$.

Para $n = 2$.
$1 \times 1 + 2 \times 2 = 4 = 1 \times 2 + 3 \times 1$.

Para $n = 3$.

$1 \times 1 + 2 \times 2 + 3 \times 3 = 1 \times 3 + 3 \times 2 + 5 \times 1$

La pregunta es, ¿por qué se suponía que debía ser el equivalente al de arriba? He probado con un montón de valores de $n$?

Answer 1

Prueba visual de $$\sum_{k=1}^{n}k^2=\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(n+1-k). Echa un vistazo a esta imagen para $n=5$ .

PS

Answer 2

La primera suma es $\sum _{n=1} ^k n^2$ , mientras que la segunda suma es $\sum _{n=1} ^k (2n-1)(k+1-n)$ .

Tratemos de relacionar los dos. Tenemos :-

$$\sum _{n=1} ^k(2n-1)(k+1-n) =k\sum _{n=1} ^k(2n-1) -2\cdot\sum_{n=1} ^kn^2+\sum_{n=1}^kn+\sum_{n=1}^k2n-1 $$=2k\cdot\frac{k\cdot(k+1)}{2} - k^2 -2\sum_{n=1}^kn^2+\frac{k\cdot(k+1)}{2} +2\cdot\frac{k(k+1)}{2}-k= \frac{k\cdot(k+1)\cdot(2k+1)}{2}-2\sum _{n=0}^kn^2= 3\cdot \sum _{n=0}^kn^2-2\sum _{n=0}^kn^2=\boxed {\sum _ {n=1} ^k n^2}

Answer 3

Alternativamente: $$\ sum_ {k = 1} ^ nk ^ 2 = 1 ^ 2 +2 ^ 2 +3 ^ 2 + \ cdots + n ^ 2 = \\ \ color {rojo} 1 + (\ color {rojo} 1+ \ color {azul} 3) + (\ color {rojo} 1+ \ color {azul} 3+ \ color {verde} 5) + \ cdots + (\ color {rojo} 1+ \ color {azul} 3 + \ color {verde} 5+ \ cdots + \ color {marrón} {(2n-1)}) = \\ \ color {rojo} 1 \ cdot n + \ color {azul} 3 \ cdot (n-1) + \ color {verde} 5 \ cdot (n-2) + \ cdots + \ color {marrón} {(2n-1)} \ cdot 1.$$

Nota: ¡Esta es una presentación algebraica de la maravillosa PWW de Robert Z!

Answer 4

Tenemos $$\sum_{k=1}^j (2k-1)\cdot (j+1-k)=(j+1)\sum_{k=1}^j (2k-1)-2\sum_{k=1}^j k^2+\sum_{k=1}^j k$$ $$=(j+1)j^2-\frac{j(j+1)(2j+1)}{3}+\frac{j(j+1)}{2}$$ $$=\frac{j(j+1)(2j+1)}{6}=\sum_{k=1}^j k^2$$ showing that the equality is no coincidence , but holds for every positive integer $j$ .

Answer 5

Prueba por inducción que $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(n-k+1) = \sum_{k=1}^{n} k^2 \space \forall n \ge 1$:

Caso Base: Para $n=1$ tenemos $1 \times 1 = 1$

Asumir cierto para $n=k$.

Para $n=k+1$:

$\sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)((n+1)-k+1) \\ =\sum_{k=1}^{n+1} (2k-1)((n-k+1) + \sum_{k=1}^{n+1} (2k-1) \\ =\sum_{k=1}^{n} (2k-1)((n-k+1) + (2(n+1)-1)(n-(n+1)+1) + \sum_{k=1}^{n+1} (2k-1) \\ =\sum_{k=1}^{n} k^2 +(2n+1)\times0 + (n+1)^2 \\ =\sum_{k=1}^{n+1} k^2$