Por qué

Question

Ya que

PS

entonces el formato de sus gráficos es el mismo, pero separados por una constante, que es $$\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{1}{2} \arctan(x) \right) = \dfrac{d}{dx} \left( \arctan(x-\sqrt{x^2+1}) \right) $ . Es decir,

PS

Mi pregunta es: ¿por qué es esto constante y qué procedimiento se realiza para descubrirlo?

Answer 1

Es aún más bonito si se hace simple el uso de la trigonometría. Considere la siguiente Figura, para los positivos $x$ (negativo $x$ ver editar, gracias a Steven señalado en el comentario).

$\hskip1.in$

El triángulo $OAB$ es en ángulo recto, y tal que $\overline{OA} = 1$, e $\overline{AB} = x$. Tenemos \begin{equation}\angle BOA = 2\alpha = \arctan x\tag{1}\label{eq:0}\end{equation} y $$\overline{OB} = \sqrt{x^2+1}.$$ Extender $BA$ a un segmento de $BC$ tales que $$ BC \cong OB.$$ Entonces $$\overline{AC} = \sqrt{1+x^2}-x,$$ y así \begin{equation}\beta = \angle AOC = \arctan\left(\sqrt{1+x^2}-x\right).\tag{2}\label{eq:0p}\end{equation} Considerando el ángulo recto del triángulo $OAB$, obtener \begin{equation}\angle OBA = \frac{\pi}{2}-2\alpha,\tag{3}\label{eq:1}\end{equation} y, considerando el triángulo isósceles $OBC$, se obtiene \begin{equation}\angle OBA = \pi - 2(2\alpha+\beta).\tag{4}\label{eq:2}\end{equation} La equiparación de la \eqref{eq:1} y \eqref{eq:2} rendimientos $$\alpha = -\beta + \frac{\pi}{4}.$$ Enchufar \eqref{eq:0} y \eqref{eq:0p} y el uso de la extraña simetría de la $\arctan(\cdot )$ conduce a la función de $$ \frac{1}{2}\cdot \arctan x = \arctan\left(x-\sqrt{1+x^2}\right) + \frac{\pi}{4},$$ el resultado deseado. $\blacksquare$

EDITAR El mismo resultado se aplica si $x<0$. Utilice entonces la Figura de abajo.

$\hskip1.in$

Ahora $\overline{AB} = -x$, $\overline{OB} = \overline{BC} = \sqrt{1+x^2}$, e $\overline{CA} = \sqrt{1+x^2}-x$. Entonces, de nuevo el uso de ángulo recto del triángulo $OAC$ y triángulo isósceles $OBC$, obtenemos $$\angle OCA = \frac{\pi}{2}-\beta = \beta - 2\alpha,$$ donde $2\alpha = \angle BOA$, e $\beta = \angle COA$. La igualdad de OP de la siguiente manera.

Answer 2

Para obtener la constante, debe ingresar un número arbitrario, generalmente $0$ para simplificar.

Answer 3

Voy a usar la $y$ en lugar de $x$.

Deje $P(\theta) = (1, y)$. A continuación, $$\theta = \arctan(y).$$

Entonces $$\sin \theta = \dfrac{y}{\sqrt{1+y^2}} \qquad \text{y} \qquad \cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}$$

A continuación, \begin{align} \tan \bigg( \frac 12 \theta - \frac{\pi}{4} \bigg) &= \dfrac{\tan \frac 12 \theta - \tan \frac{\pi}{4}} {1 + \tan(\frac 12 \theta) \tan(\frac{\pi}{4})}\\ &=\dfrac{\left(\dfrac{\sin \theta}{1+\cos \theta}-1 \right)} {\left( 1+\dfrac{\sin \theta}{1+\cos \theta} \right)} \\ &= \frac{\sin \theta - 1 - \cos \theta} {1 + \cos \theta + \sin \theta} \\ &= \frac{\left( \dfrac{y}{\sqrt{1+y^2}} - 1 - \dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}} \right)} {\left( 1 + \dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}} + \dfrac{y}{\sqrt{1+y^2}} \right)} \\ &= \frac{y - \sqrt{1+y^2} - 1}{\sqrt{1+y^2} + 1 + y} \\ &= \frac{(y - 1) - \sqrt{1+y^2}}{(y + 1) + \sqrt{1+y^2}} \cdot \frac{(y + 1) - \sqrt{1+y^2}}{(y + 1) - \sqrt{1+y^2}} \\ &= \dfrac{2y^2 - 2y\sqrt{1+y^2}}{2y} \\ &= y - \sqrt{1+y^2} \end{align}

Desde $\tan \bigg( \dfrac 12 \theta - \dfrac{\pi}{4} \bigg) = y - \sqrt{1+y^2}$, a continuación, $$\dfrac 12 \theta - \dfrac{\pi}{4} = \arctan\left(y - \sqrt{1+y^2}\right).$$

En otras palabras

$$\dfrac 12 \arctan(y) = \arctan\left(y - \sqrt{1+y^2}\right) + \dfrac{\pi}{4}.$$

Answer 4

PS

Answer 5

Deje $\arctan x-\dfrac\pi2=2y$

Usando valores principales , $ -\dfrac\pi2<\dfrac\pi2+2y<\dfrac\pi2\iff-\dfrac\pi2<y<0$

$\arctan x=\dfrac\pi2+2y\implies x=-\cot2y$

$t=x-\sqrt{x^2+1}=-\cot2y-\sqrt{\csc^22y}=-\cot2y+\csc2y$ como $\csc2y=\dfrac1{\sin2y}<0$ para $-\pi<2y<0$

$t=\dfrac{1-\cos2y}{\sin2y}=\tan y\implies\arctan(t)=y$