Conjuntos densos y líneas de Suslin

Question

Estoy estudiando Combinatoria Infinita y necesito una pista para demostrar que toda Línea de Suslin tiene un $\omega_1$ conjunto denso. He intentado hacer algo con el conjunto de todos los subconjuntos de la línea de cardinalidad $\omega_1$ pero no he tenido éxito. ¿Algún consejo?

Answer 1

Dejemos que $\langle X,\le\rangle$ sea una línea de Suslin. Sea $\preceq$ sea una ordenación arbitraria de $X$ . Para cada $x\in X$ dejar $$\mathscr{I}(x)=\{(a,b):a,b\in X\text{ and }a<x<b\}\;,$$ y que $D=\{x\in X:x=\preceq\text{-}\min I\text{ for some }I\in\mathscr{I}(x)\}$ .

• Demostrar que $D$ es denso en $X$ .

Para $x\in D$ dejar $I(x)=\bigcup\{I\in\mathscr{I}(x):x=\preceq\text{-}\min I\}$ ; tenga en cuenta que $I(x)$ es un intervalo que contiene $x$ .

• Demuestre que si $x,y\in D$ y $x\preceq y$ Entonces, o bien $I(x)\cap I(y)=\varnothing$ o $I(y)\subseteq I(x)$ .

Supongamos que $|D|\ge\omega_2$ . Sea $$D_0=\left\{x\in D:\forall y\in D\setminus\{x\}\big(I(x)\nsubseteq I(y)\big)\right\}\;;$$

$\{I(x):x\in D_0\}$ es disjunta por pares, por lo que $|D_0|\le\omega$ . Sea $E_1=D\setminus D_0$ y que $$D_1=\left\{x\in E_1:\forall y\in E_1\setminus\{x\}\big(I(x)\nsubseteq I(y)\big)\right\}\;;$$ $\{I(x):x\in D_1\}$ es disjunta por pares, por lo que $|D_1|\le\omega$ . Si $D_\xi$ se ha construido para $\xi<\eta<\omega_1$ , dejemos que $E_\eta=D\setminus\bigcup_{\xi<\eta}D_\xi$ y que $$D_\eta=\left\{x\in E_\eta:\forall y\in E_\eta\setminus\{x\}\big(I(x)\nsubseteq I(y)\big)\right\}\;;$$ $\{I(x):x\in D_\eta\}$ es disjunta por pares, por lo que $|D_\eta|\le\omega$ . Así, $|E_\eta|\ge\omega_2$ para cada $\eta<\omega_1$ y podemos construir $D_\eta$ para cada $\eta<\omega_1$ . Además, $\left|\bigcup_{\xi<\omega_1}D_\xi\right|\le\omega_1$ Así que $E_{\omega_1}=D\setminus\bigcup_{\xi<\omega_1}D_\xi\ne\varnothing$ . Fijar $p\in E_{\omega_1}$ .

• Demuestre que para cada $\xi<\omega_1$ hay un $p_\xi\in D_\xi$ tal que $I(p)\subseteq I(p_\xi)$ . Concluir que $I(p_\xi)\supsetneqq I(p_\eta)$ siempre que $\xi<\eta<\omega_1$ .

Para cada $\xi<\omega_1$ dejar $x_\xi\in I(p_\xi)\setminus I(p_{\xi+1})$ y que $A=\{x_\xi:\xi<\omega_1\}$ . Sea $L=\{x_\xi:x_\xi<p_{\xi+1}\}$ y $R=\{x_\xi:p_{\xi+1}<x_\xi\}$ claramente $A=L\cup R$ y $|A|=\omega_1$ , por lo que al menos uno de $L$ y $R$ es incontable ..

• Demuestre que si $x_\xi\in L$ y $\xi<\eta<\omega_1$ entonces $x_\xi<x_\eta$ .
• Del mismo modo, demuestre que si $x_\xi\in R$ y $\xi<\eta<\omega_1$ entonces $x_\eta<x_\xi$ .
• Concluir que $\langle L,\le\rangle$ está bien ordenado en el tipo $\omega_1$ o $\langle R,\le\rangle$ está inversamente bien ordenado en el tipo $\omega_1$ . En cualquier caso, demuestre que $X$ contiene una familia incontable de intervalos abiertos disjuntos.

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El argumento que he esbozado anteriormente es en realidad un caso especial de la prueba de que si $X$ es un espacio topológico linealmente ordenado cuya densidad es al menos $\kappa^+$ entonces $X$ contiene una familia de al menos $\kappa$ intervalos abiertos disjuntos. Se deduce que para un LOTS $X$ , $d(X)\le c(X)^+$ .

Answer 2

Pista: Construir un árbol $\langle I_{x} : x \in 2^{< \omega_1}\rangle$ de intervalos en $L$ . Sólo debe tener un número contable de intervalos no degenerados en cada nivel y no debe tener una rama incontable.