El conjunto de enteros$\Bbb Z$ en la suma ordinaria es cíclico. Tanto$1$ como$-1$ son generadores. Pero estoy un poco confundido, ¿cómo puede$1$ generar$0$ y cómo$-1$ genera$0$? ¿Cuál es el orden de$1$ y$-1$ en este grupo de enteros?
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gandalf61
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El subgrupo generado por un conjunto de elementos de un grupo es el más pequeño subgrupo que contiene todos los elementos. Un grupo, por definición, siempre se incluye el elemento de identidad.
El orden de un elemento es el tamaño del subgrupo generado por ella. Tanto en $1$ $-1$ generar todos los de $(\mathbb Z,+)$ que tiene un número infinito de elementos, por lo tanto el orden de ellos es infinito (como hay infinitamente elementos en el grupo).
Tenga en cuenta que para cualquier elemento $n$$\mathbb Z$, el subgrupo generado se compone de todos los múltiplos de $n$, que para los no-cero $n$ se compone de una infinidad de elementos, por lo que cada entero distinto de cero tiene una infinidad de orden.
Por otro lado, se puede comprobar fácilmente que $\{0\}$ es un subgrupo de todo el ser en sí, llamado el subgrupo trivial, y por lo tanto este es el grupo generado por $0$ (nota de que, de nuevo, se compone de todos los múltiplos de $0$, ya que el $0n=0$ todos los $n\in\mathbb Z$). Desde el subgrupo trivial contiene un solo elemento (es decir,$0$), el orden de $0$$1$.
De hecho, es fácil ver que para cualquier grupo de $G$, su elemento de identidad genera el subgrupo trivial y por lo tanto es de orden $1$. También, el grupo de los no-elemento de identidad $g$ contiene al menos dos elementos, a saber, la identidad y $g$ sí), y por lo tanto es de orden $\ge 2$.
Como una nota de lado, incluso si ignoramos que $0$ es, por definición, en el subgrupo de $(\mathbb Z,+)$ generado por $1$, se puede conseguir fácilmente a través de las operaciones soportadas: Desde $1$ está en el conjunto, y el conjunto es cerrado bajo la negación, $-1$ también está en el conjunto. Y puesto que el conjunto es cerrado bajo la suma, $1+(-1)=0$ también está en el conjunto. Sin embargo, mientras que esto funciona para grupos, la misma idea de falla por otras estructuras algebraicas como monoids donde también tienen una identidad, pero en general no inverso; un ejemplo de esto podría ser $(\mathbb Z_{>0},\times)$.
Por lo tanto, la manera correcta de pensar es que el elemento neutro es que ya existe, por definición, como esto funciona para todas las estructuras algebraicas.
Agnishom Chattopadhyay
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gandalf61 la respuesta es técnicamente correcta. Pero permítanme tratar de ofrecer una explicación más intuitiva.
Usted puede pensar en el grupo $G =(\mathbb{Z}, +)$ en términos de las funciones que permutes enteros, yo.e, funciones del tipo $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$. Pensar, por ejemplo, $7_G$ como la función que añade $7$ a cada número entero, yo.e, $7_G(x) = 7 + x$. Y cuando usted se componen de dos elementos de este grupo, lo que realmente está haciendo es función de la composición. Por ejemplo, $7_G + 2_G = 9_G$ está justificado, ya que para cualquier $x \in \mathbb{Z}$, $7_G(2_G(x)) = 7 + (2 + x) = 9 + x = 9_G(x)$. Del mismo modo, los negativos corresponden a la función recíproca, y así sucesivamente. (Este punto de vista se denomina grupo de acciones)
Ahora, hay un elelement $0_G$, que representa la identidad de la función de este tipo. Esta función corrige cada elemento de a $\mathbb{Z}$, en otras palabras, no hace nada.
Pudimos notar que, si tenemos la función de $1_G$ (y a la inversa), podríamos repetidamente las componen (sarting de $0_G$) para obtener cualquier elemento de este grupo de funciones. Para obtener $0_G$ de los generadores es trivial, ya que usted no tiene que aplicar cualquier número de veces.
Esta es la idea de que si se aplica una función de $0$ número de veces, lo que no ha cambiado es el argumento y, por tanto, obtener la función identidad. (Poner más complicado, el $\text{id}$ morfismos es la identidad en la monoid de morfismos.) Este es el mismo espíritu que usted consigue $1$ si se multiplica algo $0$ número de veces en un anillo, yo.e, $a^0 = 1$.
