Versión del teorema de Lowenheim-Skolem y el axioma de elección

Question

Yo estaba mirando a través de la Teoría de conjuntos y el Continuo Problema por Smullyan y Montaje y encontré esta nota en Ejercicio 1.2 en el Capítulo 11 (página 147 de Dover versión).

(Hacemos la observación de que la Skolem-teorema de Lowenheim puede ser probado sin el axioma de elección).

Sin embargo, no parece ser el caso de que el teorema es equivalente al axioma de la dependiente de la elección. Véase, por ejemplo, esta respuesta. La declaración de que el libro pudiera ser cierto en el sentido de que el pleno de la resistencia axioma de elección no es necesario, pero ya que este es un conjunto axiomático de la teoría de libro, una declaración como esta parece que implicaría que es comprobable en virtud de ZF.

Me pregunto si esto es sólo un descuido, o es que están utilizando una versión débil del teorema que no requiere de ningún axioma de elección? Su versión del teorema se da hacia el final de la sección $0$ en el mismo capítulo (p. 144):

Dado cualquier conjunto numerable $S$ de puro fórmulas (es decir, w/o constantes), si hay un sistema relacional en el que todas las fórmulas de $S$ es válido, entonces no es numerable tal sistema relacional.

Answer 1

Esta versión de hecho no requiere el axioma de elección. La formulación más habitual que es equivalente a DC requiere que el modelo contable que obtenga sea un submodelo elemental de su modelo original. La versión que citó se puede probar sin elección de la siguiente manera. Primero, si$S$ tiene un modelo, entonces es consistente. La prueba de Henkin del teorema de integridad (que no requiere elección si su idioma es contable) produce un modelo contable de$S$.