¿Qué significa diferenciar en el cálculo?

Question

Soy capaz de completar la acción, sin embargo, no estoy seguro de lo que realmente significa en el cálculo para diferenciar. Tengo curiosidad por saber por qué tengo que hacer esto.

Answer 1

La diferenciación es encontrar la pendiente. La derivada representa la rapidez con la que algo cambia en un instante: la derivada de la posición (con respecto al tiempo) es la velocidad, por ejemplo. La derivada de la velocidad (con respecto al tiempo) es la aceleración. Las derivadas pueden indicarte la rapidez con la que obtienes beneficios en función de la cantidad de dinero que tienes, la rapidez con la que algo se llena en función de su volumen o la rapidez con la que cualquier cosa cambios dada una función que representa el valor de esa cosa. El cálculo es la matemática del cambio.

Esta es la definición de la derivada:

$$\frac{df(x)}{dx}=f'=\color{magenta}{\lim_{h\to 0}}\frac{\color{red}{f(x+h)-f(x)}}{\color{blue}{(x+h)-x}}$$

La pendiente de una línea es $\frac{\color{red}{\Delta y}}{\color{blue}{\Delta x}}$ queremos encontrar la pendiente a medida que el segundo punto se acerca más y más al primero, para lo cual utilizamos un límite (en rosa).

Normalmente verás que los libros de texto simplifican la parte inferior a sólo $h$ para conseguir $$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

que es más simple pero oscurece la razón de la definición.

Answer 2

Diferenciar una función es calcular su función derivada. Esta acción sólo tiene sentido en una función que sea diferenciable -uno de los requisitos para ello es que la función sea continua-. Además, el cociente diferencial $$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$ debe existir en todos los $x\in(a,b)$ . En este caso decimos $f$ es diferenciable en $(a,b)$ . Si existe para todos $x\in\mathbb{R}$ podemos decir simplemente que la función es diferenciable.

Pero, basta de formalidades, probablemente no es por eso por lo que has hecho la pregunta. Esta información está disponible en cualquier libro de texto decente. La intuición para la diferenciación es que la función resultante $f'(x)$ le da la tasa de cambio instantánea de $f$ en el punto $(x,f(x))$ .

¿Por qué es útil? Las aplicaciones más sencillas (que conozco) están presentes en las ciencias, como la física. Por ejemplo, supongamos que tenemos una función de desplazamiento de un objeto en función del tiempo $D(t)$ - la distancia de algún punto en función del tiempo. La función derivada: $$ D'(t)=V(t)$$ representa la velocidad del objeto. Además: $$ D''(t)=V'(t)=A(t)$$ es la aceleración, o el índice de cambio instantáneo de la velocidad. En mi opinión, éste es el ejemplo más concreto de tasa de cambio. Otros ejemplos son frecuentes en la química, la economía, las ciencias biológicas y cualquier forma de modelización matemática.

Answer 3

Para diferenciar una función $f$ con respecto a la variable $x$ es hallar la tasa de variación, o lo que es lo mismo, hallar la pendiente de la recta tangente en cualquier punto $P$ .

Por ejemplo, dejemos que $y=f(x)=x^2$ entonces la derivada es $f'(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=2x$ y esto nos dice que para cualquier punto con $x$ -coordinar $x_0$ la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $y=f(x)$ en $x_0$ es simplemente $2x_0$ . Por lo tanto, la pendiente de la línea tangente en $x=1$ es $2(1)=2$ por ejemplo.

Otra forma de verlo es en términos de velocidad. Si tenemos alguna partícula cuyo movimiento, que suponemos que es en una dimensión, está descrito por alguna función del tiempo, $x(t)$ (nota que aquí $x$ es la función de la variable $t$ , donde $x$ es representar la posición y $t$ es representar el tiempo), entonces podemos encontrar la velocidad (en el caso unidimensional, es simplemente la velocidad, pero con un signo que depende de si el movimiento es en dirección positiva o negativa $x$ ) mediante la diferenciación.

En otras palabras, la velocidad en el momento $t$ , $s(t)$ viene dada por

$$s(t)=|v(t)|=|x'(t)|=|\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{t}}|=|\dot{x}|$$

donde la notación $\dot{x}$ es sólo una forma de decir la derivada de $x$ con respecto al tiempo, $t$ .

Así, digamos que tenemos una partícula cuyo movimiento es lineal dado por $x(t)=2t+1$ entonces la velocidad viene dada por la derivada $v(t)=x'(t)=2$ . Por lo tanto, la velocidad es constante: para cualquier punto del movimiento de la partícula, es decir en cualquier momento $t_0$ la velocidad es simplemente $2$ en las unidades que sean apropiadas (por ejemplo $\mathrm{m/s}$ si la posición se diera en metros).

Sin embargo, hay muchas otras formas de ver el derivado. Formalmente, podemos decir

$$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

También podemos considerar la derivada como algo que opera sobre una función, o como una función en sí misma. En particular, la derivada mapea alguna función $f(x)$ a $f'(x)$ , es decir $f': f(x) \mapsto f'(x)$ por ejemplo, en el caso anterior tenemos $f: 2x \mapsto 2$ . Podemos ampliar la función derivada más allá de $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ Sin embargo, lo verás en el cálculo multivariable y en el análisis complejo.

No me imagino que esta pregunta sea única (es decir, estoy seguro de que se ha preguntado aquí antes), pero espero que esto te sirva.

Answer 4

Permítame abordar la parte de su pregunta "Tengo curiosidad por saber por qué tengo que hacer esto". Es decir, por qué querrías hacerlo.

La aplicación práctica típica es encontrar los máximos/minimos de las funciones. En el máximo/"arriba" o en el mínimo/"abajo" de una función, ésta sube por un lado y baja por el otro. Por lo tanto, es "plana" en la parte superior/inferior, es decir, su pendiente/derivada es cero. Así que calculas la derivada, pones esa expresión a cero y resuelves para la variable independiente.

Ejemplo: Usted es un productor de alimentos y necesita fabricar latas que contengan un volumen $V$ (digamos, un cuarto de galón) para distribuir su producto. Así que $V=\pi r^2h$ ( $r$ =radio, $h$ =altura de la lata), suponiendo la forma cilíndrica habitual. Pero el estaño cuesta dinero, así que hay que elegir el $r,h$ que minimiza el área $A=2\pi rh+2\pi r^2$ de la lata para el volumen dado $V$ .

Sustituyendo $h=V/{\pi r^2}$ de la $V$ -se obtiene $A=2V/r+2\pi r^2$ . Y ahora hacemos nuestra derivada $$\frac{dA}{dr}=-2V/r^2+4\pi r$$ que nos muestra cómo $A$ cambia a medida que nosotros cambiamos $r$ (siempre manteniendo $V$ constante). El $r$ en el que $A$ no cambia será el $r$ para nuestro mínimo deseado $A$ , $$\begin{array}{rcl} 0 &=& -2V/r^2 + 4\pi r\\ r^3 &=& V/2\pi\end{array}$$ Así que son 5 minutos de trabajo que te ahorran millones de dólares si eres, por ejemplo, Sopas Campbell.

Crédito extra: Tienes que soldar las costuras de la lata, una costura por el lado y dos costuras alrededor de la parte superior e inferior, así que eso es $h+4\pi r$ . Costes de soldadura $c_s\ \mbox{cents/cm}$ y los costes del estaño $c_t\ \mbox{cents/cm}^2$ . Bien, ahora ¿cuál es el $r$ para la lata más barata que contiene $V$ ??? Tu turno...