Expectativa de cociente de combinaciones lineales de variables aleatorias normales estándar independientes

Question

Deje que$a, b, c, d, e, f$ sean números complejos con partes reales no negativas y partes imaginarias no negativas, y deje que$X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ sean variables aleatorias normales estándar independientes. ¿Cómo puedo verificar lo siguiente?

PS

Answer 1

Aquí está una mano saludando "prueba" de la supuesta resultado:

\begin{align}E\left[\frac{a X_{1} + b X_{2} + c X_{3} + d X_{4}}{e X_{1} + f X_{2}}\right] &= E \left[\frac{a X_{1} + b X_{2}}{e X_{1} + f X_{2}}\right] + E \left[\frac{c X_{3} + d X_{4}}{e X_{1} + f X_{2}}\right]\\ &= E \left[\frac{a X_{1} + b X_{2}}{e X_{1} + f X_{2}}\right]+0\\ &= E \left[\frac{a X_{1} + b X_{2}}{e X_{1} + f X_{2}}\right] \end{align} donde la primera igualdad se sigue de la linealidad de la expectativa de mientras que la afirmación de que $$E \left[\frac{c X_{3} + d X_{4}}{e X_{1} + f X_{2}}\right]=0$$ utiliza el hecho de que $cX_3+dX_4$ $eX_1+fX_2$ independiente de cero significa aleatoria normal de las variables, y su relación tiene una distribución simétrica (disensión de mí hasta el momento) y por lo tanto tiene valor esperado $0$ (que no estoy de acuerdo con el, pero que probablemente contaría con la mayoría de la gente e incluso algunos lectores de estadísticas.SE).

Answer 2

Suponga que las variables son cero significa, y conjuntamente independiente, sin la especificación de una distribución. Por la linealidad del valor esperado,

$$E\left[\frac{a X_{1} + b X_{2} + c X_{3} + d X_{4}}{e X_{1} + f X_{2}}\right] = E\left[\frac{a X_1 + b X_2}{e X_1 + f X_2}\right] + E\left[\frac{c X_3 + d X_4}{e X_1 + f X_2}\right]$$

Vamos a concentrarnos en el segundo cociente. Debido a la independencia que podemos distribuir el valor esperado en el segundo cociente, mientras que usando la linealidad de nuevo:

$$E\left[\frac{c X_3 + d X_4}{e X_1 + f X_2}\right]= \Big(c E(X_3) + d E(X_4)\Big)\cdot E\left( \frac {1}{eX_1 + fX_2}\right)$$

$$= \Big(c \cdot 0 + d \cdot 0 \Big)\cdot E\left( \frac {1}{eX_1 + fX_2}\right) = 0 \cdot E\left( \frac {1}{eX_1 + fX_2}\right)$$

dado que las variables son cero significa...El hecho de que los coeficientes son imaginarios, no cambia nada en cuanto a la multiplicación por cero.

Pero, ¿qué pasa con el segundo valor esperado?

De hecho, si $X_1$ $X_2$ normal estándar, entonces su suma también es normal, ya que son independientes. El recíproco de una variable aleatoria normal no tiene un primer o un mayor momento, no existen. De modo que el producto no es cero, y que la afirmación de que en el papel no es el correcto.