Máxima distribución de entropía con simetría recíproca

Question

¿Cuál es la distribución máxima de entropía $F$ en $(0, \infty )$ con la media $1$ y $ \Pr (x \le a)= \Pr (x \ge\frac {1}{a})$ para todos $a$ ?

Después de tomar un derivado encontramos que el pdf $F'=f$ debe satisfacer $af(a)= \frac {1}{a}f( \frac {1}{a})$ .

Intenté usar el cálculo de variaciones con multiplicadores de rango de retraso, pero las integrales parecen no poder ser tratadas analíticamente.

Alternativamente, también sería feliz simplemente teniendo un pdf con la media $1$ y la simetría dada, que no es necesariamente de máxima entropía. Miré el F-distribución que tiene la simetría pero no la media.

Un Ansatz que casi funcionó es $f(x) = c \frac {1}{x} e^{-a(x+ \frac {1}{x})}$ . Pero aquí $ \int f\, \mathrm dx =2cK_0(2a) \overset {!}{=}1 $ y $ \int x f \, \mathrm dx = 2 cK_1(2a) \overset {!}{=}1 $ lleva a $K_0(x) = K_1(x)$ . Pero el único punto en el que esas dos funciones de Bessel modificadas del segundo tipo coinciden es en $x= \infty $ lo que lleva a $f(x)= \delta (x-1)$ es decir, un impulso dirac en $x=1$ . Esta es, en efecto, una solución, aunque inútil.

Answer 1

$ \def\deq { \stackrel { \mathrm {d}}{=}} \def\aseq { \stackrel { \mathrm {a.s.}}{=}}$ Para cualquier positivo $X$ satisfactoria $P(X \leqslant a) = P \left ( X \geqslant \dfrac {1}{a} \right )$ para cualquier $a > 0$ ya que $$ P \left ( \frac {1}{X} \leqslant a \right ) = P \left ( X \geqslant \dfrac {1}{a} \right ) = P(X \leqslant a), \quad \forall a > 0 $$ entonces $ \dfrac {1}{X} \deq X$ y $$ E(X) = \frac {1}{2} (E(X) + E(X)) = \frac {1}{2} \left ( E(X) + E \left ( \frac {1}{X} \right ) \right ) = \frac {1}{2} E \left ( X + \frac {1}{X} \right ) \geqslant 1, $$ donde la igualdad se mantiene iff $X \aseq 1$ . Por lo tanto, la única distribución que satisface la condición de simetría con la media $1$ es $δ(x - 1)$ lo que hace que todo el problema degenere.