Bajo qué condiciones existe una solución en las ecuaciones lineales

Question

Tengo algunos problemas con un ejercicio de "Espacios vectoriales de dimensión finita" de Halmos. No estoy seguro de si mi demostración es correcta o si mi respuesta es la que pide el autor. Gracias por cualquier ayuda.

Supongamos que $m < n$ y que $y_{1}, \dots, y_{m}$ son funcionales lineales en un $n$ -espacio vectorial de dimensiones $\mathbb{V}$ . ¿Bajo qué condiciones en los escalares $\alpha_{1}, \dots, \alpha_{m}$ ¿es cierto que existe un vector $x$ en $\mathbb{V}$ tal que $y_{j}(x) = \alpha_{j}$ para $j = 1, \dots, m$ ? ¿Qué dice este resultado sobre las soluciones de las ecuaciones lineales?

Suponemos sin pérdida de generalidad que al menos dos vectores de $y_{1}, \dots, y_{m}$ son linealmente dependientes. Más concretamente, existe un $k, l \leq m$ y $c \in \mathbb{K}$ tal que $y_{k}(x_{0}) = cy_{l}(x_{0})$ con $k \neq l$ . Ahora podemos escribir $y_{k}(x_{0}) - cy_{l}(x_{0}) = \alpha_{k} - c\alpha_{l} = 0$ . De ahí podemos afirmar que dicho vector $x$ en $\mathbb{V}$ existe bajo la condición de que exista tal $c \in \mathbb{K}$ tal que $\alpha_{k} = c\alpha_{l}$ si $y_{k}$ y $y_{l}$ son linealmente dependientes.

Answer 1

Hay una pérdida de generalidad en su suposición. Por ejemplo, la suma de todos puede desaparecer mientras que por parejas son independientes.

Tienes que encontrar el núcleo del mapa $\Lambda: c\in {\Bbb C}^m \mapsto \sum_j c_j y_j$ . Entonces, es evidente que si $c\in \ker \Lambda$ Una solución para $y_j(x)=\alpha_j$ debe verificar: $$ 0=\sum_j c_j y_j(x)= \sum_j c_j \alpha_j$$ Así que $\alpha$ debe ser ortogonal al núcleo de $\Lambda$ . Esto resulta ser también una condición suficiente. Si $\Lambda^* : x\in V \mapsto (y_1(x),\ldots, y_m(x)) \in {\Bbb C}^m$ denota el mapa dual de $\Lambda$ entonces un teorema del análisis lineal (de dimensión finita) afirma que $$ \mbox{Im } \Lambda^* = (\ker \Lambda)^T$$ y esto se traduce en la condición mencionada.